U07.1 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

 

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

srt-u07-01-gegebenes-blockschaltbild

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} in allgemeiner Form.

Lösung

Möglichkeit 1 (Hilfssignal einführen):

Dazu führen wir im Blockschaltbild ein Hilfssignal A ein:

srt-u07-01-blockschaltbild-mit-hilfssignal

Das Hilfssignal setzt man am Besten nach einer Summation. Es setzt sich zusammen aus den folgenden Bestandteilen:

srt-u07-01-blockschaltbild-mit-hilfssignal-markiert
A = \left( {U-A{G_2}} \right){G_1}-\frac{1} {{{G_4}}}Y

\Rightarrow \quad A = \frac{{U{G_1}-\frac{1} {{{G_4}}}Y}} {{1+{G_1}{G_2}}}

Für das Signal Y gilt:

srt-u07-01-blockschaltbild-mit-hilfssignal-markiert-2

Y = \left( {A{G_2}+Y} \right){G_3}{G_4} = \left( {\frac{{U{G_1}-\frac{1} {{{G_4}}}Y}} {{1+{G_1}{G_2}}}} \right){G_2}{G_3}{G_4}+Y{G_3}{G_4}
Y = \frac{{U{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} {{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} {{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}

Möglichkeit 2 (Blockschaltbild vereinfachen):

Wir Formen das Ursprüngliche Blockschaltbild mit Hilfe der Regeln zur Blockschaltbildalgebra um.

srt-u07-01-gegebenes-blockschaltbild

srt-u07-01-ersatz-blockschaltbild

Wir können dies weiter vereinfachen zu:

srt-u07-01-ersatz-blockschaltbild-2

„Man macht erst den Vorwärtszweig, dann den ganzen“

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} = \frac{{{G_A}{G_B}}} {{1+{G_A}{G_B}{G_C}}} = \ldots = G\left( s \right) = \frac{{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} {{1+{G_1}{G_2}+{G_2}{G_3}-{G_3}{G_4}-{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}}

Dies entspricht natürlich dem Ergebnis aus Möglichkeit 1.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}