U07.3 – Konfidenzintervalle für µ, σ und σ²

 

Um den Nitratgehalt im Trinkwasser einer Großstadt zu bestimmen, werden 5 Proben
entnommen. Dabei ergeben sich folgende Werte:

\begin{array}{*{20}c}    {Probennummer} &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5  \\ \hline    {Nitratgehalt\:in\:mg/l} &\vline &  {31} &\vline &  {28} &\vline &  {30} &\vline &  {29} &\vline &  {32}  \\   \end{array}

Es wird vorausgesetzt, dass die Messwerte Realisierungen einer (µ,σ²)-normalverteilten Stichprobe vom Umfang 5 sind. Dabei sind µ und σ² unbekannt.
a) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für µ
b) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für σ² und ein solches für σ.

Lösung

Normalverteilungsmodell, n= 5, α = 0.1

a)

Konfidenzintervalle für µ, wobei σ² unbekannt:
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei t_{n-1,1-\alpha /2} das (1-α/2)-Quantil der tn-1-Verteilung. Dann ist

C\left( Z \right) = C\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) = \left\langle {M-\frac{S} {{\sqrt n }}t_{n-1,1-\alpha /2} \:,\:M+\frac{S} {{\sqrt n }}t_{n-1,1-\alpha /2} } \right\rangle

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für \gamma \left( \vartheta  \right) = \vartheta.

M: Stichprobenmittel
S: Stichprobenstandardabweichung

Hinweis: In R gilt t_{n-1,1-\alpha /2} : = qt\left( {1-\frac{\alpha } {2},n-1} \right)

Beispiel:
Reaktionszeiten von Schülern im Straßenverkehr bei 51 10-jährigen Schülern.
Diese Zeiten seien eine normalverteilte Stichprobe vom Umfang n = 51, wobei µ und σ² unbekannt. Gesucht ist ein 95%-Konfidenzintervall für (die mittlere Reaktionszeit) µ.
Die Stichprobe liefert: M = 0.8 (sec), S² = 0.04 (sec²)

Dann ist also das 95%-KI:
C\left( Z \right) = \left\langle {0.8-\frac{{0.2}} {{\sqrt {51} }}t_{50,0.975} \:,\:0.8+\frac{{0.2}} {{\sqrt {51} }}t_{50,0.975} } \right\rangle  = \left\langle {0.744,0.856} \right\rangle

Das 90%-Konfidenzintervall lautet wegen n = 5 und α = 0.1
\left\langle {M-\varepsilon ,M+\varepsilon } \right\rangle \quad mit\quad \varepsilon  = \frac{S} {{\sqrt n }}qt\left( {0.95,4} \right)

Durch einfache Berechnung folgt:
M\left( n \right) = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i }  = \frac{1} {5}\left( {31+28+30+29+32} \right) = 30

S^2  = \frac{1} {{n-1}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {X_i -M\left( n \right)} \right)^2 }  = \frac{1} {4}\left( {1^2 +2^2 +0^2 +1^2 +2^2 } \right) = 2.5

\Rightarrow \quad \varepsilon  = 1.51

\Rightarrow \quad \left\langle {28.49,31.51} \right\rangle 90%-KI für µ.

b)

Konfidenzintervalle für σ², wobei µ unbekannt:
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei \chi ^2 _{n-1,1-\alpha /2} bzw. \chi ^2 _{n-1,\alpha /2} das (1-α/2)- bzw. das α/2-Quantil der \chi _{n-1}^2-Verteilung.
Dann ist
C\left( Z \right) = C\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) = \left\langle {\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{\chi ^2 _{n-1,1-\alpha /2} }}\:,\:\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{\chi ^2 _{n-1,\alpha /2} }}} \right\rangle

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für \gamma \left( \vartheta  \right) = \sigma ^2.

S: Stichprobenstandardabweichung

Hinweis: In R gilt \chi ^2 _{n-1,1-\alpha /2} : = qchisq\left( {1-\frac{\alpha } {2},n-1} \right)

Das Intervall lautet also:

\left\langle {\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{u_2 }},\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{u_1 }}} \right\rangle

u_1  = qchisq\left( {0.05,4} \right) = 0.71

u_2  = qchisq\left( {0.95,4} \right) = 9.49

\Rightarrow \quad \left\langle {1.05,14.07} \right\rangle 90%-KI für σ²

\left\langle {\sqrt {1.05} ,\sqrt {14.07} } \right\rangle  = \left\langle {1.03,3.75} \right\rangle 90%-KI für σ

\mathcal{J}\mathcal{K}