Um den Nitratgehalt im Trinkwasser einer Großstadt zu bestimmen, werden 5 Proben
entnommen. Dabei ergeben sich folgende Werte:
Es wird vorausgesetzt, dass die Messwerte Realisierungen einer (µ,σ²)-normalverteilten Stichprobe vom Umfang 5 sind. Dabei sind µ und σ² unbekannt.
a) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für µ
b) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für σ² und ein solches für σ.
Lösung
Normalverteilungsmodell, n= 5, α = 0.1
a)
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für .
M: Stichprobenmittel
S: Stichprobenstandardabweichung
Hinweis: In R gilt
Beispiel:
Reaktionszeiten von Schülern im Straßenverkehr bei 51 10-jährigen Schülern.
Diese Zeiten seien eine normalverteilte Stichprobe vom Umfang n = 51, wobei µ und σ² unbekannt. Gesucht ist ein 95%-Konfidenzintervall für (die mittlere Reaktionszeit) µ.
Die Stichprobe liefert: M = 0.8 (sec), S² = 0.04 (sec²)
Dann ist also das 95%-KI:
Das 90%-Konfidenzintervall lautet wegen n = 5 und α = 0.1
Durch einfache Berechnung folgt:
90%-KI für µ.
b)
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei



Dann ist

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für .
S: Stichprobenstandardabweichung
Hinweis: In R gilt
Das Intervall lautet also:
90%-KI für σ²
90%-KI für σ