U07.3 – Konfidenzintervalle für µ, σ und σ²

Um den Nitratgehalt im Trinkwasser einer Großstadt zu bestimmen, werden 5 Proben
entnommen. Dabei ergeben sich folgende Werte:

$\begin{array}{*{20}c} {Probennummer} &\vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & 4 &\vline & 5 \\ \hline {Nitratgehalt\:in\:mg/l} &\vline & {31} &\vline & {28} &\vline & {30} &\vline & {29} &\vline & {32} \\ \end{array}$

Es wird vorausgesetzt, dass die Messwerte Realisierungen einer (µ,σ²)-normalverteilten Stichprobe vom Umfang 5 sind. Dabei sind µ und σ² unbekannt.
a) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für µ
b) Bestimmen Sie ein 90%-Konfidenzintervall für σ² und ein solches für σ.

Lösung

Normalverteilungsmodell, n= 5, α = 0.1

a)

Konfidenzintervalle für µ, wobei σ² unbekannt:
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei $t_{n-1,1-\alpha /2}$ das (1-α/2)-Quantil der t_n-1-Verteilung. Dann ist

$C\left( Z \right) = C\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) = \left\langle {M-\frac{S} {{\sqrt n }}t_{n-1,1-\alpha /2} \:,\:M+\frac{S} {{\sqrt n }}t_{n-1,1-\alpha /2} } \right\rangle$

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für $\gamma \left( \vartheta \right) = \vartheta$ .

M: Stichprobenmittel
S: Stichprobenstandardabweichung

Hinweis: In R gilt $t_{n-1,1-\alpha /2} : = qt\left( {1-\frac{\alpha } {2},n-1} \right)$

Beispiel:
Reaktionszeiten von Schülern im Straßenverkehr bei 51 10-jährigen Schülern.
Diese Zeiten seien eine normalverteilte Stichprobe vom Umfang n = 51, wobei µ und σ² unbekannt. Gesucht ist ein 95%-Konfidenzintervall für (die mittlere Reaktionszeit) µ.
Die Stichprobe liefert: M = 0.8 (sec), S² = 0.04 (sec²)

Dann ist also das 95%-KI:
$C\left( Z \right) = \left\langle {0.8-\frac{{0.2}} {{\sqrt {51} }}t_{50,0.975} \:,\:0.8+\frac{{0.2}} {{\sqrt {51} }}t_{50,0.975} } \right\rangle = \left\langle {0.744,0.856} \right\rangle$

Das 90%-Konfidenzintervall lautet wegen n = 5 und α = 0.1
$\left\langle {M-\varepsilon ,M+\varepsilon } \right\rangle \quad mit\quad \varepsilon = \frac{S} {{\sqrt n }}qt\left( {0.95,4} \right)$

Durch einfache Berechnung folgt:
$M\left( n \right) = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i } = \frac{1} {5}\left( {31+28+30+29+32} \right) = 30$

$S^2 = \frac{1} {{n-1}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {X_i -M\left( n \right)} \right)^2 } = \frac{1} {4}\left( {1^2 +2^2 +0^2 +1^2 +2^2 } \right) = 2.5$

$\Rightarrow \quad \varepsilon = 1.51$

$\Rightarrow \quad \left\langle {28.49,31.51} \right\rangle$ 90%-KI für µ.

b)

Konfidenzintervalle für σ², wobei µ unbekannt:
Es gelte das Normalverteilungsmodell.
Sei $\chi ^2 _{n-1,1-\alpha /2}$ bzw. $\chi ^2 _{n-1,\alpha /2}$ das (1-α/2)- bzw. das α/2-Quantil der $\chi _{n-1}^2$ -Verteilung.
Dann ist
$C\left( Z \right) = C\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) = \left\langle {\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{\chi ^2 _{n-1,1-\alpha /2} }}\:,\:\frac{{\left( {n-1} \right)S^2 }} {{\chi ^2 _{n-1,\alpha /2} }}} \right\rangle$

eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für $\gamma \left( \vartheta \right) = \sigma ^2$ .