U07.4 – Konfidenzintervall für p

 

Bei der Produktion von bestimmten Bauteilen für elektronische Geräte entstehen mit einer
Wahrscheinlichkeit p defekte Stücke. Um Aufschluss über die unbekannte Wahrscheinlichkeit
p zu bekommen, wird bei laufender Produktion eine Stichprobe von 600 Bauteilen
entnommen. Man stellt fest, dass davon 69 defekt sind.
Geben Sie ein approximatives 95%-Konfidenzintervall für p an.

Lösung

Eigentlich müsste man hier die Hypergeometrische Verteilung anwenden, da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt. Da jedoch das n sehr groß ist, macht es (fast) keinen Unterschied ob mit oder ohne Zurücklegen gerechnet wir. Daher nutzen wir in diesem Fall zur Vereinfachung das Binomialmodell.

Asymptotische Konfidenzintervalle für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p:
Es liege wieder das Binomialmodell vor.
Sei u_{1-\alpha /2} das (1-α/2)-Quantil der N(0,1)-Verteilung.
Für große n ist

C\left( X \right) = \left\langle {M-\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} u_{1-\alpha /2} \:,M+\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} u_{1-\alpha /2} } \right\rangle

näherungsweise eine (1-α)-Intervallschätzfunktion für p.

Hinweis: In R gilt u_{1-\alpha /2} : = qnorm\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right)

Seien nun also \Theta  = \left\langle {0,1} \right\rangle ,\quad n = 600,\quad \alpha  = 0.05

Dann gilt mit der Wahrscheinlichkeit p (für defekte Stücke):
M = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i }  = \frac{Z} {n} = \frac{{69}} {{600}} = 0.115

u: = qnorm\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right) = qnorm\left( {0.975} \right) = 1.96

C\left( Z \right) = \left\langle {M-u\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} ,M+u\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} } \right\rangle

hier: u\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}}  = 0.026\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {0.089,0.141} \right\rangle ist das approximative 95%-KI für p.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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