U07.4 – Übertragungsfunktion eines Blockschaltbildes bestimmen

 

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

srt-u07-04-blockschaltbild-1

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}}

in allgemeiner Form.

Lösung

Wir formen das Schaltbild folgendermaßen um:

Schritt 1:
srt-u07-04-blockschaltbild-2

Schritt 2:
srt-u07-04-blockschaltbild-3

Schritt 3:
srt-u07-04-blockschaltbild-4

Schritt 4:
srt-u07-04-blockschaltbild-5

Optionaler Schritt:

srt-u07-04-blockschaltbild-6

Berechnung:
G = \frac{Y} {U} = \frac{{\left( {\frac{{{G_1}}} {{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}} {{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}} {{1+{G_3}}}} \right)}} {{1+\left( {\frac{{{G_1}}} {{1+{G_1} \cdot {G_5}}}} \right) \cdot \left( {{G_2}+\frac{{{G_4}}} {{{G_1}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{G_3}}} {{1+{G_3}}}} \right) \cdot \left( {{G_5} \cdot {G_6}} \right)}}

= \frac{{\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}} {{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}} {{1+\frac{{{G_1} \cdot \left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}} {{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot {G_1} \cdot \left( {1+{G_3}} \right)}}}}

= \frac{{\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3}}} {{\left( {1+{G_1} \cdot {G_5}} \right) \cdot \left( {1+{G_3}} \right)+\left( {{G_1} \cdot {G_2}+{G_4}} \right) \cdot {G_3} \cdot {G_5} \cdot {G_6}}}

\Rightarrow \quad G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}} {{U\left( s \right)}} = \frac{{\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right)}} {{\left( {1+{G_1}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {1+{G_3}\left( s \right)} \right)+\left( {{G_1}\left( s \right) \cdot {G_2}\left( s \right)+{G_4}\left( s \right)} \right) \cdot {G_3}\left( s \right) \cdot {G_5}\left( s \right) \cdot {G_6}\left( s \right)}}

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}