U07.5 – Stichprobenmittel, Stichprobenmedian und Konfidenzintervall (!)

 

(aus DP Frühjahr 09)

Es liegt eine einfache Stichprobe vom Umfang 7 vor:
Z = (X1, … , X7) = (0, -0.5, 100, 2, 0.5, -1, -3).

1) Bestimmen Sie das Stichprobenmittel und den Stichprobenmedian.
2) Die vorliegende Stichprobe sei aus einer Grundgesamtheit mit unbekannter stetiger Verteilungsfunktion. In 3.17 der Vorlesung wurde für den Median der Verteilung ein (1-α)-Konfidenzintervall beschrieben. Welches Intervall ergibt sich für die angegebene Realisierung für α = 1/8 ?

Lösung

\begin{array}{*{20}c}    i &\vline &  1 &\vline &  2 &\vline &  3 &\vline &  4 &\vline &  5 &\vline &  6 &\vline &  7  \\ \hline    {X_i } &\vline &  0 &\vline &  {-0.5} &\vline &  {100} &\vline &  2 &\vline &  {0.5} &\vline &  {-1} &\vline &  {-3}  \\ \hline    {X_{i:7} } &\vline &  {-3} &\vline &  {-1} &\vline &  {-0.5} &\vline &  0 &\vline &  {0.5} &\vline &  2 &\vline &  {100}  \\   \end{array}

1)

Stichprobenmedian:
Ist n ungerade so ist \mu _{0.5,n}  = X_{\left( {n+1} \right)/2,n} der eindeutig bestimmte Stichprobenmedian, nämlich das mittlere Element der geordneten Stichprobe X_{1:n} , \ldots ,X_{n:n}.
Ist n gerade, so ist jede zwischen X_{n/2:n} und X_{n/2+1:n} gelegene Stichprobenfunktion ein Stichprobenmedian. Häufig wird dann das arithmetische Mittel dieser Größen als Stichprobenmedian verwendet, also:
\tilde \mu _{1/2,n}  = \frac{1} {2}\left( {X_{n/2:n} +X_{n/2+1:n} } \right)

Es gilt also:
M = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i }  = 14,\quad \mu _{0.5,7}  = x_{4:7}  = 0

Der Median ist in vielen Fällen sinnvoller, weil er gegenüber Ausreißern nicht so empfindlich ist wie das Stichprobenmittel. Oft treten nämlich zufallsbedingt oder durch falsche Messung Fehler auf, wodurch das Stichprobenmittel stark benachteiligt wird.

2)

Für das (1-α)-Konfidenzintervall für den Median der Verteilung gilt:

\left[ {X_{k:n} ,X_{n-k+1,n} } \right], wobei

k = \max \left\{ {m \in \left\{ {1, \ldots ,n} \right\}|B\left( {n,\frac{1} {2}} \right)\left( {0, \ldots ,m-1} \right) \leq \frac{\alpha } {2}} \right\}

Hinweis:
Befehl zu k für R:

n-qbinom\left( {1-\frac{\alpha } {2},n,\frac{1} {2}} \right) (größtes α/2-Quantil)

qbinom\left( {\frac{\alpha } {2},n,\frac{1} {2}} \right) (kleinstes α/2-Quantil)

(Kann unterschiedlich sein)

Für diese Aufgabe gilt also:
k = \max \left\{ {m \in \left\{ {1, \ldots ,7} \right\}|B\left( {7,\frac{1} {2}} \right)\left( {0, \ldots ,m-1} \right) \leq \frac{1} {{16}}} \right\}

B\left( {7,\frac{1} {2}} \right)\left\{ 0 \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}c}    7  \\    0  \\   \end{array} } \right) \cdot  0.5^0  \cdot  0.5^{\left( {7-0} \right)}  = \frac{1} {{2^7 }} < \frac{1} {{16}}

B\left( {7,\frac{1} {2}} \right)\left\{ {0,1} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}c}    7  \\    0  \\   \end{array} } \right) \cdot  0.5^0  \cdot  0.5^{\left( {7-0} \right)} +\left( {\begin{array}{*{20}c}    7  \\    1  \\   \end{array} } \right) \cdot  0.5^1  \cdot  0.5^{\left( {7-1} \right)}  = \frac{1} {{2^7 }}+\frac{7} {{2^7 }} = \frac{8} {{2^7 }} = \frac{1} {{16}}\quad  \Rightarrow \quad k = 2

Damit bekommen wir:

\left[ {X_{2:7} ,X_{6:7} } \right] = \left[ {-1,2} \right] 87.5%-KI für den Median

\mathcal{J}\mathcal{K}

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