U07.2 – (1-α)-Konfidenzintervall

 

Sei Z = \left\{ {X_1 , \ldots ,X_n } \right\} eine einfache Stichprobe vom Umfang n, wobei die Xi stetig
gleichverteilt seien auf \left[ {0,\vartheta } \right],\quad \vartheta > 0 unbekannt. Sei \alpha \in \left\langle {0,1} \right\rangle, vorgegeben.
Zeigen Sie, dass C\left( Z \right): = \left\langle {X_{n:n} ,\alpha ^{-1/n} X_{n:n} } \right\rangle, ein (1-α)-Konfidenzintervall für \gamma \left( \vartheta \right) = \vartheta ist.

Lösung

Z = \left\{ {X_1 , \ldots ,X_n } \right\}
Xi stetig verteilt auf \left[ {0,\vartheta } \right],\quad \vartheta > 0,\quad \alpha \in \left\langle {0,1} \right\rangle
Beh.: C\left( Z \right): = \left\langle {X_{n:n} ,\alpha ^{-1/n} X_{n:n} } \right\rangle (1-α)-KI für ϑ

Um zu zeigen, dass es sich um ein (1-α)-Konfidenzintervall handelt müssen wir zunächst die Verteilungsfunktion von X_{n:n} aufstellen.

Die Dichte / Wahrscheinlichkeitsfunktion für X1 lautet aufgrund der stetigen Gleichverteilung:
f\left( x \right) = \frac{1} {\vartheta }

Damit gilt für die Verteilungsfunktion von X1:
F\left( x \right) = \frac{x} {\vartheta },\quad 0 \leq x \leq \vartheta

Für die Verteilung der i-ten Ordnungsgröße gilt wie in Aufgabe 3.4:
G_i \left( x \right) = \sum\limits_{j = i}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array} } \right)F\left( x \right)^j \left( {1-F\left( x \right)} \right)^{n-j} }

Damit lautet die Verteilungsfunktion von Xn:n:
F_{n,\vartheta } = \sum\limits_{j = n}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ n \\ \end{array} } \right)F\left( x \right)^n \left( {1-F\left( x \right)} \right)^{n-n} = } F\left( x \right)^n = \left( {\frac{x} {\vartheta }} \right)^n

Nun gilt wegen C\left( Z \right): = \left\langle {X_{n:n} ,\alpha ^{-1/n} X_{n:n} } \right\rangle:

\vartheta \in C\left( Z \right)\quad \Leftrightarrow \quad X_{n:n} < \vartheta < \alpha ^{1/n} X_{n:n} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha ^{1/n} \vartheta < X_{n:n} < \vartheta

Erinnerung:

C heißt (1-α)-Bereichsschätzfunktion für \gamma \left( \vartheta \right) falls:

\forall \vartheta \in \Theta :w_\vartheta \left\{ {z \in \Psi |C\left( z \right) \mathrel\backepsilon \gamma \left( \vartheta \right)} \right\} \geq 1-\alpha

Es folgt:
w_\vartheta \left( {C\left( Z \right) \mathrel\backepsilon \vartheta } \right) = w_\vartheta \left( {\alpha ^{1/n} \vartheta < X_{n:n} < \vartheta } \right) = F_{n,\vartheta } \left( \vartheta \right)-F_{n,\vartheta } \left( {\alpha ^{1/n} \vartheta } \right)

= 1-\left( {\frac{{\alpha ^{1/n} \vartheta }} {\vartheta }} \right)^n = 1-\alpha

\mathcal{J}\mathcal{K}