U07 – Wärmeisolierte Rohrleitung

 

Durch eine horizontale, wärmeisolierte Rohrleitung, deren Querschnitt sich kontinuierlich vom Anfangsquerschnitt A1 auf A2 = 2A1 erweitert, strömt Wasser. Die Querschnittserweiterung bewirkt eine Erhöhung des Wasserdrucks von p1 = 2,0 bar auf p2 = 2,1 bar.

  1. Bestimmen Sie die Änderung der Temperatur und der spezifischen Entropie des Wassers beim Durchströmen der Querschnittserweiterung, wenn das Wasser im Eintrittszustand eine Temperatur T1 = 300 K und eine Strömungsgeschwindigkeit c1 = 10 m/s besitzt.
  2. Ermitteln Sie anhand einer Abschätzung der Entropieänderung, ob für Luft anstelle von Wasser im Endquerschnitt grundsätzlich dieselben Werte der Zustandsgrößen erreicht werden können, wenn man für Luft dieselben Werte der Zustandsgrößen und der Strömungsgeschwindigkeit im Anfangsquerschnitt wie für Wasser voraussetzt.

Weitere Angaben:
Wasser soll als inkompressibles Medium angesehen werden mit:
ρ = 1000 kg/m3 und cp = cv = cW = 4,19 kJ/(kgK).
Luft soll als perfektes Gas betrachtet werden mit:
cp = 1,0 kJ/(kgK) und R = 0,287 kJ/(kgK).

Lösung

rohrleitung-diffusor-luft-wasser

Gegeben:

{A_2} = 2{A_1}

{p_1} = 2bar

{p_2} = 2,1bar

{T_1} = 300K

{c_1} = 10\frac{m} {s}

Für Wasser gilt: {\rho _{H2O}} = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}}

Für Luft gilt: {c_p} = 1\frac{{kJ}} {{kgK}},\quad R = 0,287\frac{{kJ}} {{kgh}}

a )

Wir stellen den ersten Hauptsatz für statische Fließprozesse auf:

\underbrace {{q_{12}}}_{adiabat = 0}+\underbrace {w_{12}^t}_{keine\:Vorr = 0} = {\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right)+g\underbrace {{\Delta _{12}}z}_{ = 0}

{\Delta _{12}}h+{\Delta _{12}}\left( {\frac{{{c^2}}} {2}} \right) = 0

Weiter mit Hilfe des totalen Differentials:

dh = \underbrace {{{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{{c_W}}dT+{\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T}dp

mit\quad {\left( {\frac{{\partial h}} {{\partial p}}} \right)_T} = v-\underbrace {{{\left( {\frac{{\partial v}} {{\partial T}}} \right)}_p}}_{inkompr. = 0}

\Rightarrow \quad dh = {c_W}dT+vdp

Damit folgt:

{\Delta _{12}}h = \int\limits_1^2 {dh} = {c_W}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)+v\left( {{p_2}-{p_1}} \right)

Einsetzen in den ersten Hauptsatz liefert:

{c_W}\left( {{T_2}-{T_1}} \right)+v\left( {{p_2}-{p_1}} \right) = \left( {\frac{{c_1^2}} {2}-\frac{{c_2^2}} {2}} \right)

\left( {{T_2}-{T_1}} \right) = \Delta T = \frac{1} {{2{c_W}}}\left( {c_1^2-c_2^2} \right)-\frac{v} {{{c_W}}}\left( {{p_2}-{p_1}} \right)

Die Geschwindigkeit {c_2} berechnen wir mit der Kontinuitätsgleichung.

{{\dot m}_1} = {\rho _1}{c_1}{A_1} = {{\dot m}_2} = {\rho _2}{c_2}{A_2} = {\rho _1}{c_2} \cdot 2{A_1}

\quad \Rightarrow \quad {T_2}-{T_1} = \Delta T = 6,6 \cdot {10^{-3}}K = \underline{\underline {6,6mK}}

Der Term \left( {c_1^2-c_2^2} \right) bedeutet eine Temperaturerhöhung wegen Geschwindigkeitsreduktion.
Aus \left( {{p_2}-{p_1}} \right) folgt eine Temperaturreduktion wegen Druckerhöhung.

Änderung der Entropie von Zustand 1 zu Zustand 2:

Die Gibbs’sche Hauptgleichung lautet:

dh = Tds+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}\left( {dh-vdp} \right)

mit\quad dh = {c_W}dT+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}{c_W}dT

\Delta {s_{12}} = {c_W}\ln \left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right) = {c_W}\ln \left( {\frac{{{T_1}+\Delta T}} {{{T_1}}}} \right) = \underline{\underline {0,092\frac{J} {{kgK}}}}

Wir könnten auch eine Abschätzung nach Taylor durchführen:

\Delta {s_{12}} = {c_W}\ln \left( {1+\frac{{\Delta T}} {{{T_1}}}} \right) = {c_W}\frac{{\Delta T}} {{{T_1}}} = \underline{\underline {0,092\frac{J} {{kgK}}}}

Dabei haben wir verwendet, dass \ln \left( {1+x} \right) \approx x für kleine x.

b )

zu prüfen: Erreichbarkeit von Zustand 1 nach 2 für Luft

Entropieänderung für {T_1} \to {T_2},\quad {p_1} \to {p_2}

Gibbs’sche Hauptgleichung:

dh = Tds+vdp

\Rightarrow \quad ds = \frac{1} {T}dh-\frac{v} {T}dp

Für perfektes Gas gilt:

ds = \frac{1} {T}{c_p}dT-\frac{R} {p}dp

Daraus erhalten wir:

{\Delta _{12}}s = {c_p}\ln \left( {\frac{{{T_2}}} {{{T_1}}}} \right)-\ln \left( {\frac{{{p_2}}} {{{p_1}}}} \right)R = \underline{\underline {-0,0139\frac{{kJ}} {{kgK}} < 0}}

Der Wert ist kleiner als 0. Das darf nicht sein, da sich die Entropie eines geschlossenen Systems bei einer adiabaten Zustandsänderung niemals verkleinern kann.
Das bedeutet also, der Zustand {T_2},{p_2} kann von der Luft von {T_1},{p_1} aus nicht erreicht werden.

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{F}\mathcal{W}

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