U08.1 – Mindeststichprobenumfang

 

Vor den Präsidentschaftswahlen untersucht ein Meinungsforschungsinstitut die Chancen des Kandidaten K. Der Auftraggeber der Umfrage verlangt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Stichprobenmittel vom wahren Stimmenanteil um mehr als 0.02 abweicht, höchstens 1% beträgt. Welchen Umfang muss die Stichprobe mindestens haben?

Hinweis (3.16):

Bemerkung zum Mindeststichprobenumfang
Die halbe Länge der Konfidenzintervalle

C = \left\langle {M-u_{1-\alpha /2} \sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} \:,\:M+u_{1-\alpha /2} \sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} } \right\rangle ist höchstens \frac{{u_{1-\alpha /2} }} {{2\sqrt n }}.

Wobei u_{1-\alpha /2} das (1-α/2)-Quantil der N(0,1)-Verteilung ist.
Für vorgegebenes ε > 0 ist der minimale Stichprobenumfang n gesucht, derart, dass diese „halbe Länge der Konfidenzintervalle C(x)“ höchstens ε beträgt.

Wähle daher n minimal mit \frac{{u_{1-\alpha /2} }} {{2\sqrt n }} \leq \varepsilon, also n \geq \frac{{u^2 }} {{4\varepsilon ^2 }}

Lösung

Sei n der Stichprobenumfang

Sn = Anzahl der Anhänger von K in der Stichprobe

M_n  = \frac{{S_n }} {n} = Stichprobenmittel = der innerhalb der Stichprobe gemessene Stimmenanteil.

(Zahl die auch als Ergebnis der Umfrage veröffentlicht wird)
Sei p \in \left\langle {0,1} \right\rangle der wahre Stimmenanteil (unbekannt)

Modell: \Psi _n  = \left\{ {0,1, \ldots ,n} \right\},\quad \mathcal{W}_{S_n }  = \left\{ {B\left( {n,p} \right)|p \in \left\langle {0,1} \right\rangle } \right\}

Das Institut liefert dem Kandidaten ein KI vom Typ 3.15, also:

C = \left\langle {M-u\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} \:,\:M+u\sqrt {\frac{{M\left( {1-M} \right)}} {n}} } \right\rangle, wobei in R: u = qnorm\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right)

Für große n gilt approximativ: w_p \left( {C \mathrel\backepsilon  p} \right) \geq 1-\alpha
(D.h. die Wahrscheinlichkeit dafür, dass C den wahren Parameter p enthält ist \geq 1-α)

Wegen 3.16 ist für \underline{\underline {n \geq \frac{{u^2 }} {{4\varepsilon ^2 }}}} die halbe Länge von C höchstens ε, also ist C \subset \left\langle {M-\varepsilon ,M+\varepsilon } \right\rangle, und daher:

1-\alpha  \leq w_p \left( {C \mathrel\backepsilon  p} \right) \leq w_p \left( {\left\langle {M-\varepsilon ,M+\varepsilon } \right\rangle  \mathrel\backepsilon  p} \right) = w_p \left( {\left| {M-p} \right| < \varepsilon } \right)

\Rightarrow \quad w_p \left( {\left| {M-p} \right| > \varepsilon } \right) \leq \alpha

Forderung war: w_p \left( {\left| {M-p} \right| \geq 0.02} \right) \leq 0.01

Setze daher: α = 0.01, ε = 0.02 ; qnorm\left( {0.995} \right) = \Phi ^{-1} \left( {0.995} \right) = 2.576

(TI-83 Plus: invNorm\left( {0.995} \right))

Daraus folgt: n \geq \frac{{u^2 }} {{4\varepsilon ^2 }} = 4146.81\quad  \Rightarrow Mindeststichprobenumfang = 4147

\mathcal{J}\mathcal{K}