Gegeben ist folgendes Blockschaltbild (geschlossener Regelkreis in allgemeiner Form)
mit der Reglerübertragungsfunktion und der Streckenübertragungsfunktion
.
1.1
Gegeben sind die Streckenübertragungsfunktionen:
a)
b)
Schließen Sie den Regelkreis mit einem P-Regler mit der Übertragungsfunktion und überprüfen Sie für a) und b) mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche
der Regelkreis stabil ist.
1.2
Gegeben ist die Streckenübertragungsfunktion
Schließen Sie den Regelkreis mit einem PDT1-Regler mit der Übertragungsfunktion
und überprüfen Sie mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche der Regelkreis stabil ist.
Lösung
1.1.a)
Bisher galt für die komplexe Übertragungsfunktion:
Für die Berechnung brauchen wir hier nun die Führungsübertragungsfunktion. Diese berechnet man wie folgt:
Mit
folgt:
Nun wenden wir das Hurwitz-Kriterium an:
Soweit sind also schon mal alle Koeffizienten vorhanden.
Es muss nun gelten:
Mit dieser Bedingung für KR sind auch alle Koeffizienten größer als Null. Damit ist die notwendige Bedingung des Hurwitz-Kriteriums erfüllt. Es folgt die Überprüfung der hinreichenden Bedingung:
Damit der Regelkreis stabil ist muss also insgesamt gelten:
Nun folgt die Anwendung des Routh-Kriteriums:
Durch Einsetzen erhalten wir:
Damit haben wir erreicht, dass es keine Vorzeichenwechsel der Einträge in der ersten Spalte und somit keine positiven Realteile bei den Wurzeln gibt. Damit haben wir einen stabilen Regelkreis.
1.1.b)
Analog zu a) gilt hier:
1. Bedingung:
Insgesamt muss also gelten:
2. Bedingung:
Dies ändert die Bisherige Bedingung für KR nicht.
Das Routh-Kriterium liefert:
1.2)
Analog zur ersten Aufgabe folgt:
1. Bedingung:
2. Bedingung:
1.
2.
Insgesamt also:
Nun wieder zum Routh-Kriterium:
Zu A2:
Wir müssen nun zwei Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Nenner positiv oder negativ ist: