U08.1 – Regelkreisanalyse

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild (geschlossener Regelkreis in allgemeiner Form)

srt-u08-blockschaltbild

mit der Reglerübertragungsfunktion ${G_R}\left( s \right)$ und der Streckenübertragungsfunktion ${G_S}\left( s \right)$ .

1.1

Gegeben sind die Streckenübertragungsfunktionen:

a) ${G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}$

b) ${G_S}\left( s \right) = \frac{{10\left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}$

Schließen Sie den Regelkreis mit einem P-Regler mit der Übertragungsfunktion ${G_R}\left( s \right) = {K_R}$ und überprüfen Sie für a) und b) mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche ${K_R}$ der Regelkreis stabil ist.

1.2

Gegeben ist die Streckenübertragungsfunktion

${G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)}}$

Schließen Sie den Regelkreis mit einem PDT₁-Regler mit der Übertragungsfunktion

${G_R}\left( s \right) = \frac{{{K_R}\left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)}}$

und überprüfen Sie mit dem Hurwitz- bzw. Routh-Kriterium, für welche ${K_R}$ der Regelkreis stabil ist.

Lösung

1.1.a)

Bisher galt für die komplexe Übertragungsfunktion:

$U\left( s \right) \cdot G\left( s \right) = Y\left( s \right)\quad \Rightarrow \quad G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}}$

srt-u08-lineares-ubertragungssystem

Für die Berechnung brauchen wir hier nun die Führungsübertragungsfunktion. Diese berechnet man wie folgt:

$Y\left( s \right) = \left( {{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)} \right) \cdot \left( {W\left( s \right)-Y\left( s \right)} \right)$

$\Rightarrow \quad Y\left( s \right) = \underbrace {\frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}}_{{G_W}\left( s \right)} \cdot W\left( s \right)$

$\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{W\left( s \right)}} = \frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}$

Mit

${G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}$

${G_R}\left( s \right) = {K_R}$

folgt:

${G_W}\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{W\left( s \right)}} = \frac{{{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}}{{1+{G_R}\left( s \right) \cdot {G_S}\left( s \right)}} = \frac{{\frac{{{Z_R}}}{{{N_R}}} \cdot \frac{{{Z_S}}}{{{N_S}}}}}{{1+\frac{{{Z_R}}}{{{N_R}}} \cdot \frac{{{Z_S}}}{{{N_S}}}}} = \frac{{{Z_R} \cdot {Z_S}}}{{{N_R} \cdot {N_S}+{Z_R} \cdot {Z_S}}} = \frac{{{Z_W}}}{{{N_W}}}$

${G_W}\left( s \right) = \frac{{{K_R} \cdot 10}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}$

Nun wenden wir das Hurwitz-Kriterium an:

${N_W}\left( s \right) = \left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10 = \underbrace 1_{{a_3}} \cdot {s^3}+\underbrace 6_{{a_2}} \cdot {s^2}+\underbrace {11}_{{a_1}} \cdot s+\underbrace {\left( {6+{K_R} \cdot 10} \right)}_{{a_0}}$

Soweit sind also schon mal alle Koeffizienten vorhanden.

Es muss nun gelten:

${a_3},{a_2},{a_1}\mathop > \limits^! 0$

${a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+{K_R} \cdot 10 > 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{10}} = -0,6}}$

Mit dieser Bedingung für K_R sind auch alle Koeffizienten größer als Null. Damit ist die notwendige Bedingung des Hurwitz-Kriteriums erfüllt. Es folgt die Überprüfung der hinreichenden Bedingung:

${H_1} = {a_2}\underline{\underline { > 0}}$

${H_{n-1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} \\ \end{array} } \right| > 0\quad ,\quad n = 3$

$\Rightarrow \quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}} & {{a_0}} \\{{a_3}} & {{a_1}} \\ \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 6 & {6+10{K_R}} \\ 1 & {11} \\ \end{array} } \right| = 66-6-10{K_R}\mathop > \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}}$

Damit der Regelkreis stabil ist muss also insgesamt gelten:

$\boxed{-0,6 < {K_R} < 6}$

srt-u08-ubertragungsfunktion-01

Nun folgt die Anwendung des Routh-Kriteriums:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{a_n}} &\vline & {{a_{n-2}}} &\vline & {{a_{n-4}}} &\vline & \cdots \\ \hline{{a_{n-1}}} &\vline & {{a_{n-3}}} &\vline & {{a_{n-5}}} &\vline & \cdots \\ \hline{{A_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-2}}-{a_n}{a_{n-3}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{B_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-4}}-{a_n}{a_{n-5}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & {{C_1} = \frac{{{a_{n-1}}{a_{n-6}}-{a_n}{a_{n-7}}}}{{{a_{n-1}}}}} &\vline & \cdots \\ \hline{{A_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-3}}-{a_{n-1}}{B_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{B_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-5}}-{a_{n-1}}{C_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & {{C_2} = \frac{{{A_1}{a_{n-7}}-{a_{n-1}}{D_1}}}{{{A_1}}}} &\vline & \cdots \\ \hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-{A_1}{B_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & {{B_3} = \frac{{{A_2}{C_1}-{A_1}{C_2}}}{{{A_2}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\ \hline{{A_4} = \frac{{{A_3}{B_2}-{A_2}{B_3}}}{{{A_3}}}} &\vline & \cdots &\vline & \cdots &\vline & \cdots \\ \end{array}$

Durch Einsetzen erhalten wir:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3} = 1} &\vline & {{a_1} = 11} \\ \hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+10{K_R}} \\ \hline{{A_1} = \frac{{66-6-10{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 6}} } &\vline & {} \\ \hline{{A_2} = {a_0} = 6+10{K_R}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,6}} } &\vline & {} \\ \end{array}$

Damit haben wir erreicht, dass es keine Vorzeichenwechsel der Einträge in der ersten Spalte und somit keine positiven Realteile bei den Wurzeln gibt. Damit haben wir einen stabilen Regelkreis.

1.1.b)

Analog zu a) gilt hier:

${G_S}\left( s \right) = \frac{{10\left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)}}$

${G_R}\left( s \right) = {K_R}$

$\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)+{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}} = \frac{{{K_R} \cdot 10 \cdot \left( {s+5} \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}$

${N_W}\left( s \right) = \underbrace 1_{{a_3}} \cdot {s^3}+\underbrace 6_{{a_2}} \cdot {s^2}+\underbrace {\left( {11+{K_R} \cdot 10} \right)}_{{a_1}} \cdot s+\underbrace {\left( {6+{K_R} \cdot 50} \right)}_{{a_0}}$

1. Bedingung:

$\underline{\underline {{a_3},{a_2} > 0}}$

${a_1}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 11+10{K_R} > 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{{11}}{{10}} = -1,1}}$

${a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 6+50{K_R} > 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -\frac{6}{{50}} = -0,12}}$

Insgesamt muss also gelten:

$\boxed{-0,12 < {K_R} < \infty }$

srt-u08-ubertragungsfunktion-02

2. Bedingung:

$\underline{\underline {{H_1} = {a_2} > 0}}$

${H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}} & {{a_0}} \\{{a_3}} & {{a_1}} \\ \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 6 & {6+50{K_R}} \\ 1 & {11+10{K_R}} \\ \end{array} } \right| = 66+60{K_R}-6-50{K_R}\mathop > \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}}$

Dies ändert die Bisherige Bedingung für K_R nicht.

Das Routh-Kriterium liefert:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3} = 1} &\vline & {{a_1} = 11+10{K_R}} \\ \hline{{a_2} = 6} &\vline & {{a_0} = 6+50{K_R}} \\ \hline{{A_1} = \frac{{66+60{K_R}-6-50{K_R}}}{6}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = 0} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -6}} } &\vline & {} \\ \hline{{A_2} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -0,12}} } &\vline & {} \\ \end{array}$

1.2)

Analog zur ersten Aufgabe folgt:

${G_S}\left( s \right) = \frac{{10}}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)}}$

${G_R}\left( s \right) = \frac{{{K_R}\left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)}}$

$\Rightarrow \quad {G_W}\left( s \right) = \frac{{10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}}{{\left( {s+1} \right)\left( {s+2} \right)\left( {s+3} \right)\left( {s+4} \right)+10{K_R} \cdot \left( {s+1,5} \right)}} = \frac{{{Z_W}\left( s \right)}}{{{N_W}\left( s \right)}}$

${N_W}\left( s \right) = \underbrace 1_{{a_4}} \cdot {s^4}+\underbrace {10}_{{a_3}} \cdot {s^3}+\underbrace {35}_{{a_2}} \cdot {s^2}+\underbrace {\left( {50+10{K_R}} \right)}_{{a_1}} \cdot s+\underbrace {\left( {24+15{K_R}} \right)}_{{a_0}}$

1. Bedingung:

$\underline{\underline {{a_4},{a_3},{a_2} > 0}}$

${a_1}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 50+10{K_R} > 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -5}}$

${a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad 24+15{K_R} > 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}}$

2. Bedingung:

$\underline{\underline {{H_1} = {a_3} > 0}}$

${H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_3}} & {{a_1}} \\{{a_4}} & {{a_2}} \\ \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {50+10{K_R}} \\ 1 & {35} \\ \end{array} } \right| = 300-10{K_R}\mathop > \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}}$

${H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {50+10{K_R}} &\vline & 0 \\ 1 & {35} &\vline & {24+15{K_R}} \\ \hline 0 & {10} &\vline & {50+10{K_R}} \\ \end{array} } \right|$

$= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot {H_2}-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)$

$= \left( {50+10{K_R}} \right) \cdot \left( {300-10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)-0} \right)$

$= -100K_R^2+1000{K_R}+12600\mathop > \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad -K_R^2+10{K_R}+126 > 0$

$\Rightarrow \quad {\left( {{K_R}-5} \right)^2} < 151\quad \Rightarrow \quad \left| {{K_R}-5} \right| < \sqrt {151}$

1. ${K_R}-5 > 0:\quad \underline{\underline {{K_R} < +5+\sqrt {151} = 17,3}}$

2. ${K_R}-5 < 0:\quad -\left( {{K_R}-5} \right) < \sqrt {151} \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -7,28}}$

Insgesamt also:

$\boxed{-1,6 < {K_R} < 17,28}$

Nun wieder zum Routh-Kriterium:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 1} &\vline & {{a_2} = 35} &\vline & {{a_0} = 24+15{K_R}} \\ \hline{{a_3} = 10} &\vline & {{a_1} = 50+10{K_R}} &\vline & {} \\ \hline{{A_1} = \frac{{350-50-10{K_R}}}{{10}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {{B_1} = {a_0}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} < 30}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > -1,6}} } &\vline & {} \\ \hline{{A_2} = \frac{{\left( {30-{K_R}} \right) \cdot \left( {50+10{K_R}} \right)-10 \cdot \left( {24+15{K_R}} \right)}}{{\left( {30+{K_R}} \right)}}} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {{K_R} > \ldots }} } &\vline & {} &\vline & {} \\ \end{array}$