U08.2 – exaktes Irrtumsniveau

 

Um die außersinnlichen Fähigkeiten eines Mediums zu prüfen, werden ihm 20 Mal die Herz-Dame und der Herz-König eines fabrikneuen Kartenspiels in zufälliger Anordnung verdeckt vorgelegt. Das Medium soll jeweils die Herz-Dame aufdecken.
Geben Sie einen geeigneten statistischen Raum \left( {\Psi ,\mathcal{G},\mathcal{W}_Z } \right) an, formulieren Sie Null- und Gegenhypothese und bestimmen Sie ein geeignetes c \in \left\{ {0,1, \ldots ,20} \right\}, so dass der (geeignet randomisierte Test δ von der Form δ = 1 (bzw. δ = 0), falls das Medium mehr als c-mal (bzw. weniger als c-mal) richtig entscheidet, das exakte Irrtumsniveau α = 0.05 hat.

Hinweis:
1) Durch reines Raten ist stets die Erfolgswahrscheinlichkeit ½ zu erreichen. Wählen sie daher als Nullhypothese H_0 :p = \frac{1} {2}.
2) Ist X \sim B\left( {n,p} \right), so erhalten Sie in R P\left( {X > x} \right) mit dem Befehl 1-pbinom(x,n,p).

Lösung

Binomialmodell
S = Anzahl der Erfolge („Herz-Dame“) in 20 Versuchen
\Psi  = \left\{ {0,1, \ldots ,20} \right\},\quad \mathcal{W}_S  = \left\{ {B\left( {20,p} \right)|p \in \Theta } \right\},\quad \Theta  = \left[ {\frac{1} {2},1} \right[

H_0  = p = \frac{1} {2}\quad ;\quad H_1 :p > \frac{1} {2}\quad ,\quad \alpha  = 0.05

Wenn das Medium mehr als c Treffer erzielt, verwerfen wir die Nullhypothese und sprechen dem Medium übersinnliche Fähigkeiten zu.

Grafik

Da es sich hier um einen einseitigen Binomialtest handelt, gilt nach (4.14.(1)):

c = \min \left\{ {m \in \Psi |w_{0.5} \left( {S > d} \right) \leq \alpha } \right\} = qbinom\left( {0.95,20,0.5} \right) = 14

Alternativ:

P\left( {S > d} \right)

= 1-pbinom\left( {d,20,0.5} \right)\quad \left( {in\:R} \right)

= 1-binomcdf\left( {20,0.5,\left[ d \right]} \right)\quad \left( {TI-83\:Plus} \right)

Liefert:

P\left( {S > 13} \right) = 0.0577 > \alpha

P\left( {S > 14} \right) = 0.02 < \alpha

\Rightarrow \quad c = 14


Es ist (nach 4.13.(2)): w_{0.5} \left( {S > c} \right)+\gamma  \cdot  w_{0.5} \left( {S = c} \right) = \alpha
Also:

\gamma  = \frac{{\alpha -w_{0.5} \left( {S > c} \right)}} {{w_{0.5} \left( {S = c} \right)}} = \frac{{\left( {0.05-\left( {1-pbinom\left( {14,20,0.5} \right)} \right)} \right)}} {{dbinom\left( {14,20,0.5} \right)}} = 0.79

Mit dem TI-83 Plus:

\gamma  = \frac{{\alpha -w_{0.5} \left( {S > c} \right)}} {{w_{0.5} \left( {S = c} \right)}} = \frac{{\left( {0.05-\left( {1-binomcdf\left( {20,0.5,14} \right)} \right)} \right)}} {{binompdf\left( {20,0.5,14} \right)}} = 0.79

\Rightarrow \quad \delta :\Psi  \to \left[ {0,1} \right] gemäß \delta \left( s \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    1 & {s \geq 15}  \\    {0.79} & {s = 14}  \\    0 & {s \leq 13}  \\   \end{array} } \right.

Damit ist δ sogar UMP, also gleichmäßig bester Test (nach 4.13).

Das Medium muss also mindestens 15 Mal die richtige Entscheidung treffen. Bei 14 müsste noch ein Bernoulliversuch mit der Wahrscheinlichkeit 0.79 gestartet werden, damit der Test das exakte Irrtumsniveau α = 0.05 hat.

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen