U08.2 – Regelkreisanalyse

 

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

srt-u08-02-blockschaltbild

2.1 – Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion {G_{yu}} = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} mit dem noch freien Parameter k.

2.2 – Ermitteln Sie mit dem Hurwitz-Kriterium den k-Bereich, für den das System asymptotisch stabil ist.

2.3 – Überprüfen Sie das Ergebnis mit dem Routh-Kriterium

2.4 – Wie viele Pole mit positivem Realteil hat das System, wenn der oben ermittelte k-Bereich unterschritten bzw. überschritten wird?

2.5 – Bestimmen Sie den stationären Endwert {y_\infty } für den Fall

u\left( t \right) = 1\left( t \right) und k = \frac{{{k_{\max }}}}{4}

mit {k_{\max }} aus Teil 2.2.

Was können Sie für den Fall k = 2{k_{\max }} bezüglich {y_\infty } aussagen?

Lösung

2.1-Übertragungsfunktion

Zum Aufstellen der Übertragungsfunktion wenden wir wie in den vorherigen Aufgaben die Regeln zur Blockschaltbildalgebra an.

Daraus ergibt sich schließlich:

{G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right)}}{{1+\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right) \cdot \left( {2s+k} \right)}}

\Rightarrow \quad {G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} = \frac{{{Z_{yu}}\left( s \right)}}{{{N_{yu}}\left( s \right)}}

2.2 – k-Bereich

{N_{yu}}\left( s \right) = \underbrace 1_{{a_4}}{s^4}+\underbrace {13}_{{a_3}}{s^3}+\underbrace {50}_{{a_2}}{s^2}+\underbrace {88}_{{a_1}}s+\underbrace {16k}_{{a_0}}

1. Bedingung:

\underline{\underline {{a_4},{a_3},{a_2},{a_1} > 0}}

{a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad k > 0

2. Bedingung:

\underline{\underline {{H_1} = {a_3} > 0}}

{H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} \\  1 & {56} \\   \end{array} } \right| = 562 > 0

{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} & 0 \\  1 & {50} & {16k} \\  0 & {13} & {88} \\   \end{array} } \right| = 88 \cdot 562-{13^2} \cdot 16k\mathop > \limits^! 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}}

2.3 – Überprüfung mit Routh

\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 1} &\vline & {{a_2} = 50} &\vline & {{a_0} = 16k} \\ \hline{{a_3} = 13} &\vline & {{a_1} = 88} &\vline & {} \\ \hline{{A_1} = \frac{{13 \cdot 50-1 \cdot 88}}{{13}}} &\vline & {{B_1} = {a_0} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ = \underline{\underline {43,23 > 0}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} \\ \hline{{A_2} = 88-\frac{{13 \cdot 16k}}{{43,23}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {\underline{\underline {{B_2} = 0}} } &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}} } &\vline & {} &\vline & {} \\ \hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-0}}{{{A_2}}} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} &\vline & {} \\   \end{array}

2.4 – Anzahl der Pole

Folgende Werte bekommen wir für Einhalten, Unterschreiten und Überschreiten des k-Bereichs in der ersten Spalte:

\begin{array}{*{20}{c}}{0 < k < 18,29} &\vline & {k < 0} &\vline & {k > 18,29} \\ \hline  1 &\vline & 1 &\vline & {1 > 0} \\ \hline{13} &\vline & {13} &\vline & {13 > 0} \\ \hline{43,23} &\vline & {43,23} &\vline & {43,23 > 0} \\ \hline{k < 18,29} &\vline & {k < 18,29 \Rightarrow {A_2} > 0} &\vline & {k > 18,29 \Rightarrow \underline{\underline {{A_2} < 0}} } \\ \hline{k > 0} &\vline & {k < 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} < 0}} } &\vline & {k > 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} > 0}} } \\   \end{array}

Das bedeutet:

Beim Einhalten des k-Bereichs bekommen wir 0 Pole.

Beim Unterschreiten des k-Bereichs bekommen wir einen Vorzeichenwechsel und somit einen Pol mit positivem Realteil:

k < 0

\Downarrow

{A_1} > 0

{A_2} > 0

{A_3} < 0

Beim Überschreiten des k-Bereichs bekommen wir zwei Vorzeichenwechsel und somit zwei Pole mit positivem Realteil:

k > 18,29

\Downarrow

{A_1} > 0

{A_2} < 0

{A_3} > 0

2.5 – stationärer Endwert

Um den stationären Endwert zu bestimmen benötigen wir den Endwertsatz aus der Tabelle „Definition, Eigenschaften, der Laplacetransformation“:

srt-u08-grenzwertsatze

Damit folgt:

{y_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right)

Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} \cdot \frac{1}{s}

\Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s} \cdot {G_{yu}}\left( s \right) = \underline{\underline {\frac{1}{k}}}

Im ersten Fall befinden wir uns mit dem angegebenen k immer noch innerhalb des stabilen Bereichs. Durch Einsetzen von k folgt also:

k = \frac{{{k_{\max }}}}{4} = \frac{{18,3}}{4}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{y_\infty } = \frac{4}{{18,3}} = 0,219}}

Im zweiten Fall ist zu beachten, dass wir mit dem angegebenen k außerhalb des stabilen Bereichs sind, deshalb gilt:

k = 2 \cdot {k_{\max }}\quad \Rightarrow \quad {y_\infty } \to \infty

Es existiert in diesem Fall also kein stationärer Endwert!

\mathcal{J}\mathcal{K}

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2 Kommentare zu “U08.2 – Regelkreisanalyse”

später Lerner

Satzbaufehler:
Folgende Werte bekommen wir für die Einhalten…
Beim Überschreiten des k-Bereichs bekommen zwei Vorzeichenwechsel…

Deutsch will gelernt sein ;-) . Hab’s korrigiert. Danke!

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