U08.2 – Regelkreisanalyse

Gegeben ist folgendes Blockschaltbild:

srt-u08-02-blockschaltbild

2.1 – Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion ${G_{yu}} = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}}$ mit dem noch freien Parameter k.

2.2 – Ermitteln Sie mit dem Hurwitz-Kriterium den k-Bereich, für den das System asymptotisch stabil ist.

2.3 – Überprüfen Sie das Ergebnis mit dem Routh-Kriterium

2.4 – Wie viele Pole mit positivem Realteil hat das System, wenn der oben ermittelte k-Bereich unterschritten bzw. überschritten wird?

2.5 – Bestimmen Sie den stationären Endwert ${y_\infty }$ für den Fall

$u\left( t \right) = 1\left( t \right)$ und $k = \frac{{{k_{\max }}}}{4}$

mit ${k_{\max }}$ aus Teil 2.2.

Was können Sie für den Fall $k = 2{k_{\max }}$ bezüglich ${y_\infty }$ aussagen?

Lösung

2.1-Übertragungsfunktion

Zum Aufstellen der Übertragungsfunktion wenden wir wie in den vorherigen Aufgaben die Regeln zur Blockschaltbildalgebra an.

Daraus ergibt sich schließlich:

${G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right)}}{{1+\left( {\frac{{\frac{2}{{s+1}}}}{{1+\frac{6}{{s+1}}}}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)}}} \right) \cdot \left( {\frac{1}{s}} \right) \cdot \left( {2s+k} \right)}}$

$\Rightarrow \quad {G_{yu}}\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} = \frac{{{Z_{yu}}\left( s \right)}}{{{N_{yu}}\left( s \right)}}$

2.2 – k-Bereich

${N_{yu}}\left( s \right) = \underbrace 1_{{a_4}}{s^4}+\underbrace {13}_{{a_3}}{s^3}+\underbrace {50}_{{a_2}}{s^2}+\underbrace {88}_{{a_1}}s+\underbrace {16k}_{{a_0}}$

1. Bedingung:

$\underline{\underline {{a_4},{a_3},{a_2},{a_1} > 0}}$

${a_0}\mathop > \limits^! 0\quad \Rightarrow \quad k > 0$

2. Bedingung:

$\underline{\underline {{H_1} = {a_3} > 0}}$

${H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} \\ 1 & {56} \\ \end{array} } \right| = 562 > 0$

${H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13} & {88} & 0 \\ 1 & {50} & {16k} \\ 0 & {13} & {88} \\ \end{array} } \right| = 88 \cdot 562-{13^2} \cdot 16k\mathop > \limits^! 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}}$

2.3 – Überprüfung mit Routh

$\begin{array}{*{20}{c}}{{a_4} = 1} &\vline & {{a_2} = 50} &\vline & {{a_0} = 16k} \\ \hline{{a_3} = 13} &\vline & {{a_1} = 88} &\vline & {} \\ \hline{{A_1} = \frac{{13 \cdot 50-1 \cdot 88}}{{13}}} &\vline & {{B_1} = {a_0} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} \\{ = \underline{\underline {43,23 > 0}} } &\vline & { \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} \\ \hline{{A_2} = 88-\frac{{13 \cdot 16k}}{{43,23}}\mathop > \limits^! 0} &\vline & {\underline{\underline {{B_2} = 0}} } &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k < 18,29}} } &\vline & {} &\vline & {} \\ \hline{{A_3} = \frac{{{A_2}{B_1}-0}}{{{A_2}}} = 16k\mathop > \limits^! 0} &\vline & {} &\vline & {} \\{ \Rightarrow \quad \underline{\underline {k > 0}} } &\vline & {} &\vline & {} \\ \end{array}$

2.4 – Anzahl der Pole

Folgende Werte bekommen wir für Einhalten, Unterschreiten und Überschreiten des k-Bereichs in der ersten Spalte:

$\begin{array}{*{20}{c}}{0 < k < 18,29} &\vline & {k < 0} &\vline & {k > 18,29} \\ \hline 1 &\vline & 1 &\vline & {1 > 0} \\ \hline{13} &\vline & {13} &\vline & {13 > 0} \\ \hline{43,23} &\vline & {43,23} &\vline & {43,23 > 0} \\ \hline{k < 18,29} &\vline & {k < 18,29 \Rightarrow {A_2} > 0} &\vline & {k > 18,29 \Rightarrow \underline{\underline {{A_2} < 0}} } \\ \hline{k > 0} &\vline & {k < 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} < 0}} } &\vline & {k > 0 \Rightarrow \underline{\underline {{A_3} > 0}} } \\ \end{array}$

Das bedeutet:

Beim Einhalten des k-Bereichs bekommen wir 0 Pole.

Beim Unterschreiten des k-Bereichs bekommen wir einen Vorzeichenwechsel und somit einen Pol mit positivem Realteil:

$k < 0$

$\Downarrow$

${A_1} > 0$

${A_2} > 0$

${A_3} < 0$

Beim Überschreiten des k-Bereichs bekommen wir zwei Vorzeichenwechsel und somit zwei Pole mit positivem Realteil:

$k > 18,29$

$\Downarrow$

${A_1} > 0$

${A_2} < 0$

${A_3} > 0$

2.5 – stationärer Endwert

Um den stationären Endwert zu bestimmen benötigen wir den Endwertsatz aus der Tabelle „Definition, Eigenschaften, der Laplacetransformation“:

srt-u08-grenzwertsatze

Damit folgt:

${y_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right)$

$Y\left( s \right) = G\left( s \right) \cdot U\left( s \right) = \frac{{16}}{{s\left( {s+2} \right)\left( {s+4} \right)\left( {s+7} \right)+32s+16k}} \cdot \frac{1}{s}$

$\Rightarrow \quad \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot Y\left( s \right) = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s \cdot \frac{1}{s} \cdot {G_{yu}}\left( s \right) = \underline{\underline {\frac{1}{k}}}$