U08.4 – Niveau-a-Test und p-Wert

 

Sei \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) eine normalverteilte Stichprobe mit unbekanntem Erwartungswert m \in \Theta : = \mathbb{R} und bekannter Varianz v0 = 1. M sei das Stichprobenmittel und T: = \sqrt n M.
Sei H_0 :m = 0,\quad H_1 :m \ne 0.
Zu\alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle, bezeichne u(α) das α-Quantil der Standardnormalverteilung.

1) Zeigen Sie, dass für jedes \alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle, der nichtrandomisierte Test δ(α) mit dem
Verwerfungsbereich \left\{ {\left| T \right| > u\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right)} \right\} ein Niveau-α-Test für H0 gegen H1 ist.

2) Berechnen Sie für beliebiges z \in \mathbb{R} den p-Wert p(z) zu der in 1) beschriebenen Testfamilie
\left( {\delta \left( \alpha  \right):\alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle } \right)gemäß 4.8.

Lösung

Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)

N(m,1)-Stichprobe;

\Theta  = \mathbb{R}\quad ;\quad \forall m \in \mathbb{R}:\quad w_m  = N\left( {m,1} \right)^{ \otimes n}

M = \frac{1} {n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i } ,\quad T: = \sqrt n M

H_0 :m = 0\quad ,\quad H_1 :m \ne 0

u\left( \alpha  \right) = qnorm\left( \alpha  \right)

1)
T: = \sqrt n M = \left( {M-0} \right)\sqrt {\frac{n} {1}}

v_0  = \operatorname{var} _0 \left( X \right) = 1\quad  \Rightarrow \quad \operatorname{var} _0 \left( M \right) = \frac{{\operatorname{var} _0 \left( X \right)}} {n} = \frac{1} {n}\quad  \Rightarrow unter w0 ist T N(0,1)-verteilt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass etwas im Verwerfungsbereich liegt ist:

w_0 \left( {\left\{ {\delta \left( \alpha  \right) = 1} \right\}} \right) = w_0 \left( {\left| T \right| > u\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right)} \right) = \alpha

Grafik

2)
Vgl. 4.8: p\left( z \right) = \inf \left\{ {\alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle |\delta \left( \alpha  \right)\left( z \right) = 1} \right\}

Mit u = \Phi ^{-1} folgt:

\delta \left( \alpha  \right)\left( z \right) = 1\quad  \Leftrightarrow \quad \left| {T\left( z \right)} \right| > u\left( {1-\frac{\alpha } {2}} \right)\quad  \Leftrightarrow \quad \Phi \left( {\left| {T\left( z \right)} \right|} \right) > 1-\frac{\alpha } {2}

\Leftrightarrow \quad \frac{\alpha } {2} > 1-\Phi \left( {\left| {T\left( z \right)} \right|} \right)\quad  \Leftrightarrow \quad \alpha  > 2\left( {1-\Phi \left( {\left| {T\left( z \right)} \right|} \right)} \right)

Da p das Infimum von α ist, gilt:

\Rightarrow \quad p\left( z \right) = 2\left( {1-\Phi \left( {\left| {T\left( z \right)} \right|} \right)} \right)

\mathcal{J}\mathcal{K}