U08.6 – UMP-Niveau-a-Test, Signifikanzniveau, Neyman-Pearson-Typ

Seien $\Psi = \left[ {0,1} \right],\quad \Theta = \left\{ {0,1} \right\},\quad \mathcal{W} = \left\{ {w_0 ,w_1 } \right\}$ ; für $\vartheta \in \Theta$ sei $f_\vartheta$ die Dichte von $w_\vartheta$ gemäß

$f_0 \left( x \right) = \left| {2-4x} \right|,\quad f_1 \left( x \right) = 1,\quad \forall x \in \Psi$ . Ferner sei $H_0 :\vartheta = 0,\quad H_1 :\vartheta = 1$ .

Sei $\alpha \in \left\langle {0,1} \right\rangle$ , vorgegeben und sei δ der nichtrandomisierte Test mit dem Verwerfungsbereich

$\left\{ {\delta = 1} \right\} = \left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha }} {2}} \right\rangle$ .

Zeigen Sie, das δ UMP-Niveau-α-Test für H₀ gegen H₁ ist.

Hinweis: Berechnen Sie das Signifikanzniveau von δ; zeigen Sie dann, das δ vom Neyman-
Pearson-Typ ist.

Lösung

$\Psi = \left[ {0,1} \right],\quad \Theta = \left\{ {0,1} \right\},\quad \mathcal{W} = \left\{ {w_0 ,w_1 } \right\}$

$w_0 \leftrightarrow f_0 \left( z \right) = \left| {2-4z} \right|$

$w_1 \leftrightarrow f_1 \left( z \right) = 1$

Grafik

$H_0 :\vartheta = 0\quad ,\quad H_1 :\vartheta = 1\quad ,\quad \alpha \in \left\langle {0,1} \right\rangle$

δ nichtrandomisierter Test. $\left\{ {\delta = 1} \right\} = \left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha }} {2}} \right\rangle$

Teil 1: Signifikanzniveau von δ, also α(δ)

$\alpha \left( \delta \right) = w_0 \left( {\delta = 1} \right) = w_0 \left( {\left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha }} {2}} \right\rangle } \right) = \int\limits_{\frac{1} {2}-\frac{{\sqrt \alpha }} {2}}^{\frac{1} {2}+\frac{{\sqrt \alpha }} {2}} {\left| {2-4z} \right|dz} = \int\limits_{\frac{1} {2}-\frac{{\sqrt \alpha }} {2}}^{\frac{1} {2}+\frac{{\sqrt \alpha }} {2}} {4\left| {\frac{1} {2}-z} \right|dz}$

Wir substituieren: $\frac{1} {2}-z = x$

$\ldots = 4\int\limits_{-\frac{{\sqrt \alpha }} {2}}^{\frac{{\sqrt \alpha }} {2}} {\left| x \right|dx} = 8\int\limits_0^{\frac{{\sqrt \alpha }} {2}} {x\:dx} = 4 \cdot \frac{\alpha } {4} = \alpha$

δ ist somit schon mal ein Niveau-α-Test, da $\alpha \left( \delta \right) \leq \alpha$ .

Teil 2: z.z.: δ vom NP-Typ

Ein Test $\varphi :\Psi \to \left[ {0,1} \right]$ heißt Neyman-Pearson-Test (NP-Test) oder vom Neyman-Pearson-Typ, falls ein $c \in \mathbb{R}_+$ existiert, derart, dass
$\varphi \left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {q\left( z \right) > c} \\ 0 & {q\left( z \right) < c} \\ \end{array} } \right.$ wobei: $q\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{f_1 \left( z \right)}} {{f_0 \left( z \right)}}} & {f_0 \left( z \right) > c} \\ \infty & {sonst} \\ \end{array} } \right.$
q: Likelihoodquotient
c: Schwellenwert oder kritischer Wert des NP-Tests φ.

$q\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1} {{\left| {2-4z} \right|}}} & {z \ne \frac{1} {2}} \\ \infty & {z = \frac{1} {2}} \\ \end{array} } \right.$

Nach 4.10.2) (1) gilt: $c = \inf \left\{ {t \in \mathbb{R}_+ |w_0 \left( {q > t} \right) \leq \alpha } \right\}$

Daher folgt aus: $w_0 \left( {\left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha }} {2}} \right\rangle } \right) = \alpha$

$\frac{{1-\sqrt \alpha }} {2} < z < \frac{{1+\sqrt \alpha }} {2}$

$\Rightarrow \quad -\frac{{\sqrt \alpha }} {2} < z-\frac{1} {2} < \frac{{\sqrt \alpha }} {2}$

$\Rightarrow \quad \left| {z-\frac{1} {2}} \right| < \frac{{\sqrt \alpha }} {2}$

Also:

$\delta \left( z \right) = 1\quad \Leftrightarrow \quad \left| {z-\frac{1} {2}} \right| < \frac{{\sqrt \alpha }} {2}\quad \Leftrightarrow \quad \left| {4z-2} \right| < 2\sqrt \alpha \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1} {{2\sqrt \alpha }} < q\left( z \right)$