U08.6 – UMP-Niveau-a-Test, Signifikanzniveau, Neyman-Pearson-Typ

 

Seien \Psi  = \left[ {0,1} \right],\quad \Theta  = \left\{ {0,1} \right\},\quad \mathcal{W} = \left\{ {w_0 ,w_1 } \right\}; für \vartheta  \in \Theta sei f_\vartheta die Dichte von w_\vartheta gemäß

f_0 \left( x \right) = \left| {2-4x} \right|,\quad f_1 \left( x \right) = 1,\quad \forall x \in \Psi. Ferner sei H_0 :\vartheta  = 0,\quad H_1 :\vartheta  = 1.

Sei \alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle, vorgegeben und sei δ der nichtrandomisierte Test mit dem Verwerfungsbereich

\left\{ {\delta  = 1} \right\} = \left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha  }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha  }} {2}} \right\rangle.

Zeigen Sie, das δ UMP-Niveau-α-Test für H0 gegen H1 ist.

Hinweis: Berechnen Sie das Signifikanzniveau von δ; zeigen Sie dann, das δ vom Neyman-
Pearson-Typ ist.

Lösung

\Psi  = \left[ {0,1} \right],\quad \Theta  = \left\{ {0,1} \right\},\quad \mathcal{W} = \left\{ {w_0 ,w_1 } \right\}

w_0  \leftrightarrow f_0 \left( z \right) = \left| {2-4z} \right|

w_1  \leftrightarrow f_1 \left( z \right) = 1

Grafik

H_0 :\vartheta  = 0\quad ,\quad H_1 :\vartheta  = 1\quad ,\quad \alpha  \in \left\langle {0,1} \right\rangle

δ nichtrandomisierter Test. \left\{ {\delta  = 1} \right\} = \left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha  }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha  }} {2}} \right\rangle

Teil 1: Signifikanzniveau von δ, also α(δ)

\alpha \left( \delta  \right) = w_0 \left( {\delta  = 1} \right) = w_0 \left( {\left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha  }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha  }} {2}} \right\rangle } \right) = \int\limits_{\frac{1} {2}-\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}}^{\frac{1} {2}+\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}} {\left| {2-4z} \right|dz}  = \int\limits_{\frac{1} {2}-\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}}^{\frac{1} {2}+\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}} {4\left| {\frac{1} {2}-z} \right|dz}

Wir substituieren: \frac{1} {2}-z = x

\ldots  = 4\int\limits_{-\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}}^{\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}} {\left| x \right|dx}  = 8\int\limits_0^{\frac{{\sqrt \alpha  }} {2}} {x\:dx}  = 4 \cdot  \frac{\alpha } {4} = \alpha

δ ist somit schon mal ein Niveau-α-Test, da \alpha \left( \delta  \right) \leq \alpha.

Teil 2: z.z.: δ vom NP-Typ

Ein Test \varphi :\Psi  \to \left[ {0,1} \right] heißt Neyman-Pearson-Test (NP-Test) oder vom Neyman-Pearson-Typ, falls ein c \in \mathbb{R}_+ existiert, derart, dass
\varphi \left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    1 & {q\left( z \right) > c}  \\    0 & {q\left( z \right) < c}  \\   \end{array} } \right. wobei: q\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{f_1 \left( z \right)}} {{f_0 \left( z \right)}}} & {f_0 \left( z \right) > c}  \\    \infty  & {sonst}  \\   \end{array} } \right.
q: Likelihoodquotient
c: Schwellenwert oder kritischer Wert des NP-Tests φ.

q\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{1} {{\left| {2-4z} \right|}}} & {z \ne \frac{1} {2}}  \\    \infty  & {z = \frac{1} {2}}  \\   \end{array} } \right.

Nach 4.10.2) (1) gilt: c = \inf \left\{ {t \in \mathbb{R}_+ |w_0 \left( {q > t} \right) \leq \alpha } \right\}

Daher folgt aus: w_0 \left( {\left\langle {\frac{{1-\sqrt \alpha  }} {2},\frac{{1+\sqrt \alpha  }} {2}} \right\rangle } \right) = \alpha

\frac{{1-\sqrt \alpha  }} {2} < z < \frac{{1+\sqrt \alpha  }} {2}

\Rightarrow \quad -\frac{{\sqrt \alpha  }} {2} < z-\frac{1} {2} < \frac{{\sqrt \alpha  }} {2}

\Rightarrow \quad \left| {z-\frac{1} {2}} \right| < \frac{{\sqrt \alpha  }} {2}

Also:

\delta \left( z \right) = 1\quad  \Leftrightarrow \quad \left| {z-\frac{1} {2}} \right| < \frac{{\sqrt \alpha  }} {2}\quad  \Leftrightarrow \quad \left| {4z-2} \right| < 2\sqrt \alpha  \quad  \Leftrightarrow \quad \frac{1} {{2\sqrt \alpha  }} < q\left( z \right)

\Rightarrow \quad \frac{1} {{2\sqrt \alpha  }} = c

δ ist ein NP-Test zum Niveau α
\Rightarrow δ UMP in \Delta \left( \alpha  \right) für H0 gegen H1.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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