U08 – Kältemaschine

 

Ein dünnwandiger, vollkommen wärmeisolierter Behälter enthält ein Eis-Wasser-Gemisch ({m_E} = 0,6kg Eis und {m_W} = 0,4kgWasser) der Temperatur {T_0} = 0^\circ C . Durch eine stationär arbeitende Kältemaschine wird dem Eis-Wasser-Gemisch ein Wärmestrom {\dot Q_{ab}} = 100W entzogen, so dass es nach einer Zeit \Delta {\tau _E} seit Beginn des Prozesses vollständig gefroren ist. Die Temperatur des Kältemittels im Verdampfer beträgt dabei {T_v} = -10^\circ C .

  1. Welche Wärmemenge {Q_{12}} muss dem Eis-Wasser-Gemisch während des Gefriervorgangs entzogen werden (Zeit \tau  = 0bis \tau  = {\tau _E})?
  2. In welcher Zeit \Delta \tau ist das Eis-Wasser-Gemisch vollständig gefroren?
  3. Wie groß ist der Entropiestrom, der während des eigentlichen Gefriervorgangs aus dem Eis-Wasser Gemisch strömt?
  4. Welcher Entropiestrom strömt während dieser Zeit in das Kältemittel im Verdampfer der Kältemaschine?
  5. Wie groß ist der während des eigentlichen Gefriervorgangs in der Verdampferwand produzierte Entropiestrom {\dot S_{irr}}?

Thermodynamische Daten von Wasser:
\begin{array}{*{20}{c}}    {{M_w} = 18,015\frac{{kg}} {{mol}}} & {{c_{pD}} = 1,852\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {{r_0} = 2500,5\frac{{kJ}} {{kg}}}  \\    {} & {{c_W} = 4,19\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {{r_E} = 334,4\frac{{kJ}} {{kg}}}  \\    {} & {{c_E} = 2,108\frac{{kJ}} {{kgK}}} & {}  \\   \end{array}

Lösung

kaltemaschine-eis-wasser

Gegeben:

{m_E} = 0,6kg,\quad {m_W} = 0,4kg

{T_0} = 0^\circ C

{{\dot Q}_{ab}} = 100W

{T_V} = -10^\circ C

Allgemeine Betrachtung:
temperaturverlauf-wand

Es gilt:

\left| {{{\dot Q}_{ab}}} \right| = \left| {{{\dot Q}_{zu}}} \right|

\left| {{{\dot S}_{ab}}} \right| \ne \left| {{{\dot S}_{zu}}} \right|

Wir stellen den zweiten Hauptsatz auf:

dS = \underbrace {\delta {S_Q}}_{\frac{{\delta Q}} {T}}+\underbrace {\delta {S_{irr}}}_{ \geq 0}

Für den reversiblen adiabaten Grenzfall gilt:

dS = \frac{{\overbrace {\delta Q}^{ = 0}}} {T}+\underbrace {\delta {S_{irr}}}_{ = 0} = 0

\frac{{dS}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {\frac{{\delta {S_{Qi}}}} {{\delta \tau }}} +\frac{{\delta {S_{irr}}}} {{\delta \tau }} = \sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} +{{\dot S}_{irr}}

Da es sich um einen stationären Fließprozess handelt, muss gelten:

\frac{{dS}} {{d\tau }} = \sum\limits_i {\frac{{\delta {S_{Qi}}}} {{\delta \tau }}} +\frac{{\delta {S_{irr}}}} {{\delta \tau }} = \sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} +{\dot S_{irr}} = 0\quad  \Rightarrow \quad \boxed{{{\dot S}_{irr}} = -\sum\limits_i {\delta {{\dot S}_{Qi}}} }

Wir kommen nun zu der Beantwortung der Aufgabenstellungen.


a )

Wir stellen den ersten Hauptsatz für das System EW auf:

{Q_{12}}+{W_{12}} = \Delta {U_{12}}

Da keine Volumenänderung vorliegt, gibt es keine Volumenarbeit:

{W_{12}} = \int {p\left( V \right)\underbrace {dV}_{ = 0}}  = 0

Es folgt:

{Q_{12}} = \Delta {U_{12}} = \Delta _{12}^wU = TdS-p\underbrace {dV}_0 = m\underbrace {Tds}_r = -{m_W}{r_E} = -0,4 \cdot  333,4\frac{{kJ}} {{kg}} = -133,36kJ

r ist hierbei die so genannte Verdampfungsenthalpie.


b )

Gesucht ist die Zeitdauer des Prozesses:

\Delta \tau  = \frac{{\left| {{Q_{12}}} \right|}} {{\left| {{{\dot Q}_{ab}}} \right|}} = 1333,6s \overset{\wedge}{=}22\min ,13\sec


c )

Gesucht ist der an den Wärmestrom {\dot Q_{ab}} gebundene Entropiestrom {\dot S_{EW}}.
Es gilt:

{\dot S_{EW}} = -\frac{{{{\dot Q}_{ab}}}} {T} = -\frac{{100\frac{J} {s}}} {{273,15K}} = -0,366\frac{W} {K}


d )

Gesucht ist der Entropiestrom im Kältemittel.
Es gilt:

{\dot S_{KM}} = \frac{{{{\dot Q}_{ab}}}} {{{T_{KM}}}} = \frac{{100\frac{J} {s}}} {{263,15K}} = 0,380\frac{W} {K}

Der Entropiestrom in das Kältemittel ist also größer als der Entropiestrom, der das Eiswasser verlässt. Daher muss in der Wand Entropie erzeugt werden! (vgl. Skript S. 57 ff.)


e )

{\dot S_{irr}} = -\sum\limits_i {{{\dot S}_{Qi}}}

Veranschaulichung:

entropie-erzeugung-wand

Es ist also:

{\dot S_{irr}} = -\sum\limits_i {{{\dot S}_{Qi}}}  = -\left( {\left| {{{\dot S}_{EW}}} \right|-\left| {{{\dot S}_{KM}}} \right|} \right) = \underline{\underline {0,014\frac{W} {K}}}

Dieser Entropiestrom wird also in der Wand erzeugt.

\mathcal{J}\mathcal{K}/\mathcal{F}\mathcal{W}/\mathcal{G}\mathcal{H}

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