U09.1 – Laplacetransformation

 

Das System

\tau \dot x+x = \kappa \cdot u

mit dem Anfangswert x\left( 0 \right) = {x_0} wird mit der im folgenden Bild dargestellten Sinusfunktion als Störgröße beaufschlagt:

srt-u09-graph

1. Geben Sie u(t) im t- und im s-Bereich an.

2. Bestimmen Sie x(s) in Abhängigkeit von u(s) und x0.

3. Geben Sie x(t) an.

(Abkürzungen dürfen eingeführt werden; der Bezug muss aber klar ersichtlich sein: z.B.
\omega = 2\pi /T,\quad \alpha = 1/\tau)

Lösung

1.

Die Funktion u(t) können wir direkt aus der Grafik aufstellen:

u\left( t \right) = \sin \left( {\underbrace {\frac{{2\pi }}{T}}_\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\underbrace {\frac{{2\pi }}{T}}_\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)

Zur Transformation benötigen wir den Rechtsverschiebungssatz, sowie Korrespondenz Nr. 21:

srt-u09-01-definition-eigenschaften-laplace-transformation

srt-u09-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

Für den ersten Term gilt:

RVS:\quad f\left( {t-a} \right) \cdot 1\left( {t-a} \right)\quad \leftrightarrow \quad {e^{-as}}\cdot F\left( s \right)

\Rightarrow \quad \omega \cdot \underbrace {\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}\quad \leftrightarrow \quad \underbrace {\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}

Damit folgt:

u\left( t \right) = \sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)

\downarrow

\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}

2.

Wir nehmen die Ausgangsgleichung

\tau \dot x+x = \kappa \cdot u

und transponieren sie mit Hilfe der Definition und dem Differentiationssatz:

\to \quad \tau X\left( s \right)s-{x_0}\tau +X\left( s \right) = \kappa \cdot U\left( s \right)

\Rightarrow \quad X\left( s \right) \cdot \left[ {\tau \cdot s+1} \right] = \kappa \cdot U\left( s \right)+{x_0}\tau

\Rightarrow \quad \underline{\underline {X\left( s \right) = \frac{\kappa }{{\tau \cdot s+1}}U\left( s \right)+\frac{{\tau {x_0}}}{{\tau \cdot s+1}}}}

3.

Mit a = \frac{1}{\tau} folgt:

X\left( s \right) = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}}U\left( s \right)}_{{X_1}\left( s \right)}+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)} = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{X_1^\prime \left( s \right)} \cdot {e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)}

So dass:

{X_1} = X_1^\prime \cdot \left( {1-{e^{-Ts}}} \right) \cdot {e^{-{T_1}s}}

Nun folgt wieder mal eine Partialbruchentwicklung:

X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \ldots

Der zweite Teilterm hat nur komplexe Nullstellen. Für solche gilt wie auch schon in Aufgabe 5.1.c der folgende Ansatz:

\boxed{\frac{{{a_1}}}{{{{(x-{z_i})}^j}}}+\frac{{{a_2}}}{{{{(x-\overline {{z_i}} )}^j}}} = \frac{{{b_{ij}}x+{c_{ij}}}}{{{{(x-{z_i})}^j}{{(x-{{\bar z}_i})}^j}}}}

\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{1}{{s+j\omega }} \cdot \frac{\omega }{{s-j\omega }} = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2}}}{{s+j\omega }}+\frac{{{C_3}\omega }}{{s-j\omega }}

\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \underline{\underline {\frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}}}

Die Bestimmung der Koeffizienten folgt analog zu Aufgabe 3:

{C_1} = \frac{{a \cdot \kappa \cdot \omega }}{{{{\left( {-a} \right)}^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}

Die restlichen Koeffizienten werden wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmt:

a \cdot \kappa \cdot \omega = {C_1}\left( {{s^2}+{\omega ^2}} \right)+{C_2} \cdot {\text{s}}\left( {s+a} \right)+{C_3} \cdot \omega \cdot \left( {s+a} \right)

\quad {s^2}:\quad 0 = {C_1}+{C_2}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = -{C_1}

\quad {s^1}:\quad 0 = a \cdot {C_2}+\omega \cdot {C_3}\quad \Rightarrow \quad {C_3} = -\frac{a}{\omega }{C_2} = \frac{a}{\omega }{C_1}

\quad {s^0}:\quad a\kappa \omega = {\omega ^2}{C_1}+\omega a{C_3}

Durch Einsetzen der Koeffizienten erhalten wir:

X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}

\qquad = {C_1} \cdot \frac{1}{{s+a}}-{C_1} \cdot \frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot {C_1} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}

\qquad = {C_1} \cdot \left( {\frac{1}{{s+a}}-\frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}} \right)

Nun führen wir die Rücktransformation mit Hilfe der Korrespondenzen 3, 21 und 22 durch:

srt-u05-01-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation-1

srt-u09-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

\to \quad x_1^\prime \left( t \right) = {C_1} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)

\Rightarrow \quad x_1^\prime \left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)

Dies war allerdings nur ein Teilterm der eigentlichen Lösung. Für die vollständige Lösung müssen wir noch folgenden Term auswerten:

{X_1} = X_1^\prime \cdot \left( {1-{e^{-Ts}}} \right) \cdot {e^{-{T_1}s}}

\Rightarrow \quad {X_1} = X_1^\prime \cdot {e^{-{T_1}s}}+X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}

Die Transformation erfolgt wieder mit Hilfe des Rechtsverschiebungssatzes:

\underbrace {X_1^\prime }_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}\quad \to \quad \underbrace {x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}

X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}\quad \to \quad x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot \left( {t-{T_1}-T} \right)

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right)

\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.

\qquad \left. {-\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]

Als letztes fehlt nun noch der X2 Term, welche mittels Korrespondenz Nr. 3 rücktransformiert wird:

{X_2}\left( s \right) = \frac{{{x_0}}}{{s+a}}

\downarrow

{x_2}\left( t \right) = {x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)

Insgesamt erhalten wir also:

x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right)+{x_2}\left( t \right)

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.

\qquad \left. {\qquad -\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]

\qquad \qquad +{x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)

\mathcal{J}\mathcal{K}

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3 Kommentare zu “U09.1 – Laplacetransformation”

a=1/tau und nicht a=1/T wurde im Artikel einmal fasch gemacht.

Stimmt. Tippfehler. Hab’s korrigiert. Danke!

In folgende Zeilen + und – korrigiert:

    \[\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}\]

    \[\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}\]

    \[X\left( s \right) = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}}U\left( s \right)}_{{X_1}\left( s \right)}+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)} = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{X_1^\prime \left( s \right)} \cdot {e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)}\]

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