U09.1 – Laplacetransformation

Das System

$\tau \dot x+x = \kappa \cdot u$

mit dem Anfangswert $x\left( 0 \right) = {x_0}$ wird mit der im folgenden Bild dargestellten Sinusfunktion als Störgröße beaufschlagt:

srt-u09-graph

1. Geben Sie u(t) im t- und im s-Bereich an.

2. Bestimmen Sie x(s) in Abhängigkeit von u(s) und x₀.

3. Geben Sie x(t) an.

(Abkürzungen dürfen eingeführt werden; der Bezug muss aber klar ersichtlich sein: z.B.
$\omega = 2\pi /T,\quad \alpha = 1/\tau$ )

Lösung

Die Funktion u(t) können wir direkt aus der Grafik aufstellen:

$u\left( t \right) = \sin \left( {\underbrace {\frac{{2\pi }}{T}}_\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\underbrace {\frac{{2\pi }}{T}}_\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)$

Zur Transformation benötigen wir den Rechtsverschiebungssatz, sowie Korrespondenz Nr. 21:

srt-u09-01-definition-eigenschaften-laplace-transformation

srt-u09-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

Für den ersten Term gilt:

$RVS:\quad f\left( {t-a} \right) \cdot 1\left( {t-a} \right)\quad \leftrightarrow \quad {e^{-as}}\cdot F\left( s \right)$

$\Rightarrow \quad \omega \cdot \underbrace {\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}\quad \leftrightarrow \quad \underbrace {\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}$

Damit folgt:

$u\left( t \right) = \sin \left( {\omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-T-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)$

$\downarrow$

$\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}$

Wir nehmen die Ausgangsgleichung

$\tau \dot x+x = \kappa \cdot u$

und transponieren sie mit Hilfe der Definition und dem Differentiationssatz:

$\to \quad \tau X\left( s \right)s-{x_0}\tau +X\left( s \right) = \kappa \cdot U\left( s \right)$

$\Rightarrow \quad X\left( s \right) \cdot \left[ {\tau \cdot s+1} \right] = \kappa \cdot U\left( s \right)+{x_0}\tau$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {X\left( s \right) = \frac{\kappa }{{\tau \cdot s+1}}U\left( s \right)+\frac{{\tau {x_0}}}{{\tau \cdot s+1}}}}$

Mit $a = \frac{1}{\tau}$ folgt:

$X\left( s \right) = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}}U\left( s \right)}_{{X_1}\left( s \right)}+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)} = \underbrace {\frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}}_{X_1^\prime \left( s \right)} \cdot {e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)+\underbrace {\frac{{{x_0}}}{{s+a}}}_{{X_2}\left( s \right)}$

So dass:

${X_1} = X_1^\prime \cdot \left( {1-{e^{-Ts}}} \right) \cdot {e^{-{T_1}s}}$

Nun folgt wieder mal eine Partialbruchentwicklung:

$X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \ldots$

Der zweite Teilterm hat nur komplexe Nullstellen. Für solche gilt wie auch schon in Aufgabe 5.1.c der folgende Ansatz:

$\boxed{\frac{{{a_1}}}{{{{(x-{z_i})}^j}}}+\frac{{{a_2}}}{{{{(x-\overline {{z_i}} )}^j}}} = \frac{{{b_{ij}}x+{c_{ij}}}}{{{{(x-{z_i})}^j}{{(x-{{\bar z}_i})}^j}}}}$

$\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{1}{{s+j\omega }} \cdot \frac{\omega }{{s-j\omega }} = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2}}}{{s+j\omega }}+\frac{{{C_3}\omega }}{{s-j\omega }}$

$\Rightarrow \quad \frac{{a\kappa }}{{s+a}} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}} = \underline{\underline {\frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}}}$

Die Bestimmung der Koeffizienten folgt analog zu Aufgabe 3:

${C_1} = \frac{{a \cdot \kappa \cdot \omega }}{{{{\left( {-a} \right)}^2}+{\omega ^2}}} = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}$

Die restlichen Koeffizienten werden wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmt:

$a \cdot \kappa \cdot \omega = {C_1}\left( {{s^2}+{\omega ^2}} \right)+{C_2} \cdot {\text{s}}\left( {s+a} \right)+{C_3} \cdot \omega \cdot \left( {s+a} \right)$

$\quad {s^2}:\quad 0 = {C_1}+{C_2}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = -{C_1}$

$\quad {s^1}:\quad 0 = a \cdot {C_2}+\omega \cdot {C_3}\quad \Rightarrow \quad {C_3} = -\frac{a}{\omega }{C_2} = \frac{a}{\omega }{C_1}$

$\quad {s^0}:\quad a\kappa \omega = {\omega ^2}{C_1}+\omega a{C_3}$

Durch Einsetzen der Koeffizienten erhalten wir:

$X_1^\prime \left( s \right) = \frac{{{C_1}}}{{s+a}}+\frac{{{C_2} \cdot {\text{s}}+{C_3}\omega }}{{{s^2}+{\omega ^2}}}$

$\qquad = {C_1} \cdot \frac{1}{{s+a}}-{C_1} \cdot \frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot {C_1} \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}$

$\qquad = {C_1} \cdot \left( {\frac{1}{{s+a}}-\frac{s}{{{s^2}+{\omega ^2}}}+\frac{a}{\omega } \cdot \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}} \right)$

Nun führen wir die Rücktransformation mit Hilfe der Korrespondenzen 3, 21 und 22 durch:

srt-u05-01-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation-1

srt-u09-korrespondenz-tabelle-laplace-transformation

$\to \quad x_1^\prime \left( t \right) = {C_1} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x_1^\prime \left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}} \cdot \left[ {{e^{-at}}-\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right] \cdot 1\left( t \right)$

Dies war allerdings nur ein Teilterm der eigentlichen Lösung. Für die vollständige Lösung müssen wir noch folgenden Term auswerten:

${X_1} = X_1^\prime \cdot \left( {1-{e^{-Ts}}} \right) \cdot {e^{-{T_1}s}}$

$\Rightarrow \quad {X_1} = X_1^\prime \cdot {e^{-{T_1}s}}+X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}$

Die Transformation erfolgt wieder mit Hilfe des Rechtsverschiebungssatzes:

$\underbrace {X_1^\prime }_{F\left( s \right)} \cdot \underbrace {{e^{-{T_1}s}}}_{{e^{-as}}}\quad \to \quad \underbrace {x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)}_{f\left( {t-a} \right)} \cdot \underbrace {1\left( {t-{T_1}} \right)}_{1\left( {t-a} \right)}$

$X_1^\prime \cdot {e^{-\left( {{T_1}+T} \right)s}}\quad \to \quad x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)$

$\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right) \cdot \left( {t-{T_1}-T} \right)$

$\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = x_1^\prime \left( {t-{T_1}} \right)-x_1^\prime \left( {t-{T_1}-T} \right)$

$\Rightarrow \quad {x_1}\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.$

$\qquad \left. {-\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]$

Als letztes fehlt nun noch der X₂ Term, welche mittels Korrespondenz Nr. 3 rücktransformiert wird:

${X_2}\left( s \right) = \frac{{{x_0}}}{{s+a}}$

$\downarrow$

${x_2}\left( t \right) = {x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)$

Insgesamt erhalten wir also:

$x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right)+{x_2}\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{a\kappa \omega }}{{{a^2}+{\omega ^2}}}\left[ {\left( {{e^{-a\left( {t-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}} \right)} \right.$

$\qquad \left. {\qquad -\left( {{e^{-a\left( {t-T-{T_1}} \right)}}-\cos \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)+\frac{a}{\omega }\sin \omega \left( {t-{T_1}-T} \right)} \right) \cdot 1\left( {t-{T_1}-T} \right)} \right]$

$\qquad \qquad +{x_0} \cdot {{\text{e}}^{-at}} \cdot 1\left( t \right)$

$\mathcal{J}\mathcal{K}$

3 Kommentare zu “U09.1 – Laplacetransformation”

T.H.

03. 04. 10 at 11:46 am

a=1/tau und nicht a=1/T wurde im Artikel einmal fasch gemacht.

05. 04. 10 at 1:06 pm

Stimmt. Tippfehler. Hab’s korrigiert. Danke!

06. 04. 10 at 8:21 pm

In folgende Zeilen + und – korrigiert:

$\Rightarrow \quad U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}-\frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-s\left( {{T_1}+T} \right)}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {U\left( s \right) = \frac{\omega }{{{s^2}+{\omega ^2}}}{e^{-{T_1}s}}\left( {1-{e^{-sT}}} \right)}}$

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