10.1 – Wiederholung der eigenschaften von Fourierreihen

a

Entwickeln Sie die Funktion f\left( x \right) mit 0 < x < 2\pi , in eine Fourierreihe mit der Periode 2\pi.

b

Kann man die Funktion f\left( x \right) auch in eine reine Sinusreihe oder eine reine Cosinusreihe entwickeln?

c i)

Wiederholen Sie die Konvergenzeigenschaften von Fourierreihen für stückweise stetig differenzierbare Funktionen, d.h. Funktionen, die an höchstens endlich vielen Stellen im Intervall \left[ {0,2\pi } \right] eine Sprungstelle haben und bei denen für alle x \in \left[ {0,2\pi } \right] die einseitigen Grenzwerte existieren:

\mathop {\lim }\limits_{t \searrow 0} f\left( {x+t} \right),\quad \quad \mathop {\lim }\limits_{t \searrow 0} f\left( {x-t} \right),\quad \quad \mathop {\lim }\limits_{t \searrow 0} f’\left( {x+t} \right),\quad \quad \mathop {\lim }\limits_{t \searrow 0} f’\left( {x-t} \right)

c ii)

Wie sind die Konvergenzeigenschaften von Funktionen f \in {L^2}\left( {\left( {0,2\pi } \right)} \right)?

Lösung

a )

f:\left[ {0,2\pi } \right] \to \mathbb{R}

Zugehöriges trigonometrisches Polynom:

{f_n} = \frac{{{a_0}}}<br /> {2}+\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{a_k}\cos kt+{b_k}\sin kt} \right)}

Mit den Koeffizienten

{a_k} = \frac{2}<br /> {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {f\left( t \right)\cos \left( {kt} \right)dt}

{b_k} = \frac{2}<br /> {{2\pi }}\int_0^{2\pi } {f\left( t \right)\sin \left( {kt} \right)dt}

Das Intervall, über das integriert wird, kann bei periodischen Funktionen beliebig verschoben werden, muss aber immer die gleiche Periodenlänge haben.

Fourierreihe {f_\infty } = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}

Wenn die Periodenlänge \ne 2\pi ist, gilt allgemein:

{a_k} = \frac{2}<br /> {T}\int_0^T {f\left( t \right)\cos \left( {\frac{{2\pi }}<br /> {T}kt} \right)dt}

{b_k} = \frac{2}<br /> {T}\int_0^T {f\left( t \right)\sin \left( {\frac{{2\pi }}<br /> {T}kt} \right)dt}

Alternativ:

{f_\infty }\left( t \right) = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{c_k}{e^{ik\frac{{2\pi }}<br /> {T}t}}}

{c_k} = \frac{1}<br /> {T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ik\frac{{2\pi }}<br /> {T}t}}dt}

mit

{c_0} = \frac{{{a_0}}}<br /> {2},\quad {c_k} = \frac{1}<br /> {2}\left( {{a_k}-i{b_k}} \right),\quad {c_{-k}} = \frac{1}<br /> {2}\left( {{a_k}+i{b_k}} \right)

b )

Die Funktion ist in eine reine Sinusreihe entwickelbar, wenn {a_k} = 0 ist, also \int_0^{2\pi } {f\left( t \right)\cos \left( {kt} \right)dt} = 0. Dies ist der Fall, wenn die Funktion f ungerade, also punktsymmetrisch zu \left( {0,0} \right), ist.

Die Funktion ist in eine reine Cosinusreihe entwickelbar, wenn {b_k} = 0 ist, also \int_0^{2\pi } {f\left( t \right)\sin \left( {kt} \right)dt} = 0. Dies ist der Fall, wenn die Funktion f gerade, also achsensymmetrisch zur y-Achse, ist.

c i)

{f_\infty }\left( x \right) konvergiert gleichmäßig an allen Stetigkeitsstellen gegen f\left( x \right).
An den Unstetigkeitsstellen konvergiert {f_\infty }\left( x \right) gegen \frac{{f\left( {x+} \right)+f\left( {x-} \right)}}{2}

c ii)

f \in {L^2}\left( {\left( {0,2\pi } \right)} \right)

Kriterium: \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^{2\pi } {{{\left( {f-{f_n}} \right)}^2}dt}

Für Funktionen aus L^2 konvergiert die Fourierreihe im L^2-Sinn gegen die Funktion:

{f_\infty }\quad \mathop \to \limits_{{L^2}} \quad f

Die Fourierreihenentwicklung ist Isomorphismus zwischen {L^2}\left( {\left( {0,2\pi } \right)} \right) und l^2.
Man kann also testen, ob die Koeffizienten in l^2 liegen, um herauszufinden, ob die Funktion selbst in {L^2}\left( {\left( {0,2\pi } \right)} \right) liegt.

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