10.2 – Verschiedene Randwertprobleme

 

Sei \Omega das Einheitsquadrat. Gegeben sei f:\Omega \to \mathbb{R}.

a )

Entwickeln Sie die Funktion f in eine Sinusreihe bezüglich x mit von y unabhängigen Koeffizienten.

b )

Entwickeln Sie die Koeffizienten auch in eine Sinusreihe.

c )

Betrachten Sie nun das folgende Poisson-Problem:

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u = f} & {in\quad \Omega } \\ {u = 0} & {auf\quad \partial \Omega } \\ \end{array}

Nehmen Sie an, dass f\left( { \cdot , \cdot } \right) als Sinus-Sinus-Reihe gegeben ist.

Gesucht:

u\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k,j = 1}^\infty {\left( {{b_{k,j}}\sin \left( {j\pi y} \right)\sin \left( {k\pi x} \right)} \right)}

als formale Lösung.

d )

Betrachten Sie nun das Neumann-Problem

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u+u = f} & {in\quad \Omega } \\ {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = 0} & {auf\quad \partial \Omega } \\ \end{array}

Die Lösung u soll wieder als Fourierreihe dargestellt werden. In welche Art von Fourierreihe entwickeln Sie u und f?

e )

Betrachten Sie das Problem mit gemischten Randbedingungen:

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u = f} & {in} & \Omega \\ {u = 0} & {auf} & {\partial \Omega \cap \left\{ {x = 0 \vee x = 1} \right\}} \\ {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = 0} & {auf} & {\partial \Omega \cap \left\{ {y = 0 \vee y = 1} \right\}} \\ \end{array}

Die Lösung u soll wieder als Fourierreihe dargestellt werden. In welche Art von Fourierreihe entwickeln Sie u und f?

Lösung

a )

f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{a_k}\left( y \right)\sin \left( {k\pi x} \right)}

mit

{a_k}\left( y \right) = 2\int_0^1 {f\left( {x,y} \right)\sin \left( {2\pi kx} \right)dx}

b )

Wir entwickeln nun auch noch {a_k}\left( y \right) als Reihe

{a_k}\left( y \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_{{k_j}}}\sin \left( {j\pi y} \right)}

mit

{a_{{k_j}}} = 2\int_0^1 {{a_k}\left( y \right)\sin \left( {2\pi jy} \right)dy}

= 2\int_0^1 {2\int_0^1 {f\left( {x,y} \right)\sin \left( {2\pi kx} \right)dx} \sin \left( {2\pi jy} \right)dy}

Dies setzen wir wieder in die Gleichung für f ein:

f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\left[ {\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_{{k_j}}}\sin \left( {j\pi y} \right)} } \right]\sin \left( {k\pi x} \right)} \right)}

= \sum\limits_{k,j = 1}^\infty {\left( {{a_{{k_j}}}\sin \left( {j\pi y} \right)\sin \left( {k\pi x} \right)} \right)}

c )

Formale Lösung: Wir machen uns keine Gedanken, ob die berechnete Reihe überhaupt konvergiert. Wir vertauschen Differenzieren und Reihenbildung, wo es zweckmäßig erscheint, ohne über die Konsequenzen nachzudenken.

Wir bestimmen zunächst die partiellen Ableitungen der Sinus-Sinus-Reihe:

{\partial _x}u = \sum\limits_{j,k = 1}^\infty {{b_{k,j}}\cos \left( {k\pi x} \right)k\pi \sin \left( {j\pi y} \right)}

{\partial _{xx}}u = \sum\limits_{j,k = 1}^\infty {-{b_{k,j}}\sin \left( {k\pi x} \right){k^2}{\pi ^2}\sin \left( {j\pi y} \right)}

{\partial _y}u = \sum\limits_{j,k = 1}^\infty {{b_{k,j}}\sin \left( {k\pi x} \right)\cos \left( {j\pi y} \right)j\pi }

{\partial _{yy}}u = \sum\limits_{j,k = 1}^\infty {-{b_{k,j}}\sin \left( {k\pi x} \right)\sin \left( {j\pi y} \right){j^2}{\pi ^2}}

Laplace-Operator:

-\Delta u = \sum\limits_{j,k = 1}^\infty {{b_{k,j}}\left[ {{k^2}{\pi ^2}+{j^2}{\pi ^2}} \right]\sin \left( {k\pi x} \right)\sin \left( {j\pi y} \right)}

= f\left( {x,y} \right) = \sum\limits_{k,j = 1}^\infty {\left( {{a_{k,j}}\sin \left( {j\pi y} \right)\sin \left( {k\pi x} \right)} \right)}

Da \sin \left( {n\pi x} \right) und \sin \left( {m\pi x} \right) orthogonal sind, ergibt Koeffizientenvergleich:

{b_{k,j}} = \frac{{{a_{k,j}}}} {{{k^2}{\pi ^2}+{j^2}{\pi ^2}}}

Warum entwickeln wir u als Sinusreihe?
Es sind Dirichlet 0-RB gegeben. Diese werden durch \sin \sin erfüllt, durch \cos nicht.

d )

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u+u = f} & {in\quad \Omega } \\ {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = 0} & {auf\quad \partial \Omega } \\ \end{array}

Wir wünschen uns f als \cos \cos-Reihe und setzen u als \cos \cos-Reihe an, damit sind die Randbedingungen automatisch erfüllt.

e )

\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u = f} & {in} & \Omega \\ {u = 0} & {auf} & {\partial \Omega \cap \left\{ {x = 0 \vee x = 1} \right\}} \\ {\frac{{\partial u}} {{\partial n}} = 0} & {auf} & {\partial \Omega \cap \left\{ {y = 0 \vee y = 1} \right\}} \\ \end{array}

Wir wählen u und f als \sin \cos-Reihe mit Cosinus in y-Richtung und Sinus in x-Richtung.