U08.0 – Algebraische Stabilitätskriterien

 

Die komplexe Übertragungsfunktion lässt allgemein wie folgt schreiben:

G\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{{b_0}+{b_1}s+ \ldots +{b_{m-1}}{s^{m-1}}+{b_m}{s^m}}}{{{a_0}+{a_1}s+ \ldots +{a_{n-1}}{s^{n-1}}+{a_n}{s^n}}} = \frac{{{b_m}\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {s-{n_i}} \right)} }}{{{a_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{p_i}} \right)} }} = \frac{{Z\left( s \right)}}{{N\left( s \right)}} = k \cdot \frac{{\prod\limits_{i = 1}^m {\left( {s-{n_i}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^n {\left( {s-{p_i}} \right)} }}

Y(s): Ausgangsfunktion

U(s): Eingangsfunktion

Z(s): Zählerpolynom

N(s): Nennerpolynom

ni: Nullstellen

pi: Polstellen

Das Nennerpolynom einer Übertragungsfunktion G(s) bezeichnet man als charakteristisches Polynom. Die Gleichung zur Bestimmung der Polstellen (N(s) = 0) nennt man die charakteristische Gleichung. Ihre Lösungen werden auch als „Wurzeln“ bezeichnet.

Ein lineares System ist nun genau dann stabil, wenn alle Nullstellen/Wurzeln des charakteristischen Polynoms in der linken s-Halbebene liegen, also wenn sie alle negative Realteile besitzen.

Pol-Nullstellen-Bild:


srt-u08-pol-nullstellen-bild

Ein bekanntes Stabilitätskriterium ist das so genannte Hurwitz-Kriterium:

Es ermöglicht zu entscheiden, ob sämtliche Nullstellen eines Polynoms

P\left( s \right) = {a_n}{s^n}+{a_{n-1}}{s^{n-1}}+ \ldots +{a_1}s+{a_0} = {a_n}\left( {s-{p_1}} \right)\left( {s-{p_2}} \right) \ldots \left( {s-{p_n}} \right)

negative Realteile haben, ohne dass die Nullstellen im Einzelnen berechnet werden müssen.

Notwendige Bedingung:

Alle Koeffizienten des Polynoms müssen vorhanden sein und das gleiche Vorzeichen besitzen. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so ist P(s) kein Hurwitz-Polynom.

Hinreichende Bedingung:

Die Hurwitzdeterminante Hn-1 und alle ihre Hauptdeterminanten {H_i}\left( {i = 1,2, \ldots ,n-2} \right) sind positiv.

srt-u08-hurwitz-determinante

mit {a_{n-1}} = 0 für n-i < 0\:;\quad i = 0,1,2, \ldots

wobei n der Grad des Polynoms ist.

Also muss gelten:

{H_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} \\     \end{array} } \right| > 0\quad ,\quad {H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} \\     \end{array} } \right| > 0\quad ,

{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} & {{a_{n-5}}} \\{{a_{n-0}}} & {{a_{n-2}}} & {{a_{n-4}}} \\   0 & {{a_{n-1}}} & {{a_{n-3}}} \\     \end{array} } \right| > 0

Das Routh-Kriterium:

Während das Hurwitz-Kriterium nur eine Ja/Nein-Entscheidung bezüglich der Stabilität eines linearen Systems erlaub, kann mittels des Routh-Kriteriums auch eine Aussage über die Zahl der instabilen Eigenwerte gemacht werden.

Es gilt:

Sämtliche Nullstellen des Polynoms haben genau dann negative Realteile, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Notwendige Bedingung:

Alle ai sind vorhanden und besitzen das gleiche Vorzeichen.

Notwendige und hinreichende Bedingung:

Alle Elemente der ersten Spalte des Routh-Schemas (die sog. Routh-Probekoeffizienten) sind positiv.

Die Zahl der Vorzeichenwechsel der Routh-Probekoeffizienten ist gleich der Zahl der Wurzeln mit positivem Realteil.

srt-u0-routh-schema

\mathcal{J}\mathcal{K}

Ähnliche Artikel

3 Kommentare zu “U08.0 – Algebraische Stabilitätskriterien”

später Lerner

Verbesserungsvorschläge:
Y(s): Eingangsfunktion, U(s): Ausgangsfunktion -> das muss anders herum.

Formales:
Bei der Hurwitzdeterminante erkennt man in der großen Matrix im Kasten nicht, wozu H1, H2 und H3 gehören. Auch ist die vierte Zeile der Matrix verschoben. Vielleicht sollte hier besser ein Screenshot der schönen Matrix aus dem Skript hin (Seite 94).
Ein paar Zeilen später: das H3 sollte in die nächste Zeile (kein automatischer Zeilenumbruch)

Fehler korrigiert. Formales mach ich später. Danke!

Formales auch erledigt :-)

Kommentar verfassen