19.1 – Lösung der 3D-Wellengleichung

 

Eine sphärische Welle ist eine Lösung der dreidimensionalen Wellengleichung der Form u(r,t), wobei r der Abstand vom Ursprung ist.

Die 3-D-Wellengleichung in Kugelkoordinaten hat die Form

u\left( {r,\varphi ,\Theta ,t} \right) = u\left( {r,t} \right)

\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{tt}} = {u_{rr}}+\frac{2}{r}{u_r}} & {\left( {r,t} \right) \in \mathbb{R} \times {\mathbb{R}^+}} \\{u\left( {r,0} \right) = {u_0}\left( r \right)} & {r \in \mathbb{R}} \\{{u_t}\left( {r,0} \right) = {u_1}\left( r \right)} & {r \in \mathbb{R}} \\ \end{array}

Die Funktionen u0 und u1 wollen wir als gerade Funktionen von r auffassen, so dass diese auch für negatives r definiert sind.

a) Nehmen Sie die Transformation v = ru vor, um für v die Gleichung vtt = vrr zu erhalten.

b) Geben Sie die Lösung der Differentialgleichung (für v und u) an.

Lösung

a)

Wir nehmen die Transformation vor und bilden die Ableitungen:

v = ru

{v_{tt}} = r{u_{tt}}

{v_r} = u+r{u_r}

{v_{rr}} = {u_r}+{u_r}+r{u_{rr}} = 2{u_r}+r{u_{rr}}

Es ist: {u_{tt}} = {u_{rr}}+\frac{2}{r}{u_r}

Mit r multipliziert ist damit auch: \underbrace {r{u_{tt}}}_{{v_{tt}}} = \underbrace {r{u_{rr}}+2{u_r}}_{{v_{rr}}}

Dies ist also das gleiche wie: {v_{tt}} = {v_{rr}}

Im Übrigen gilt für die Anfangswerte:

v\left( {r,0} \right) = r{u_0}\left( {r,0} \right) = r{u_0}\left( r \right)

{v_t}\left( {r,0} \right) = r{u_t}\left( {r,0} \right) = r{u_t}\left( r \right)

b)

{v_{tt}} = {v_{rr}} ist eine örtliche 1-D-Wellengleichung.

Diese können wir, wie in der Vorlesung beschrieben wurde, mit der D’Alembert’schen Lösungsformel lösen (in unserem Fall wäre das a = 1):

v\left( {r,t} \right) = \frac{1}{2}\left( {{v_0}\left( {r+t} \right)+{v_0}\left( {r-t} \right)} \right)+\frac{1}{2}\int\limits_{r-t}^{r+t} {{v_1}\left( s \right)ds}

\qquad = \frac{r}{2}\left( {{u_0}\left( {r+t} \right)+{u_0}\left( {r-t} \right)} \right)+\frac{1}{2}\int\limits_{r-t}^{r+t} {s\:{u_1}\left( s \right)ds}

Mit v = ru folgt:

u\left( {r,t} \right) = \frac{1}{2}\left( {{u_0}\left( {r+t} \right)+{u_0}\left( {r-t} \right)} \right)+\frac{1}{{2r}}\int\limits_{r-t}^{r+t} {s\:{u_1}\left( s \right)ds}

\mathcal{J}\mathcal{K}