U05.4 – Maximum-Likelihood-Schätzer

 

(DVP Informatik, Frühjahr 05)
Ein zweidimensionaler stetiger Zufallsvektor Z = (X1, X2) mit positiven Komponenten X1, X2 wird beobachtet. Die Likelihood (Dichte) von Z hängt von einem unbekannten Parameter \vartheta  \in \Theta : = \left\langle {0,\infty } \right\rangle ab gemäß

L\left( {z,\vartheta } \right) = L\left( {x_1 ,x_2 ,\vartheta } \right) = \frac{1} {{2\pi \vartheta x_1 x_2 }}\exp \left\{ {-\frac{1} {2}\vartheta \left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]} \right\}

mit z = \left( {x_1 ,x_2 } \right) \in \Psi : = \left\langle {0,\infty } \right\rangle ^2

Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für den unbekannten Parameter \vartheta.

Lösung

\vartheta  \in \Theta : = \left\langle {0,\infty } \right\rangle \quad  \Rightarrow \quad \vartheta  > 0

Der Einfachheit halber maximieren wir nun einfach die Log-Likelihood, d.h. wir setzen deren Ableitung = 0:

L\left( {z,\vartheta } \right) = \frac{1} {{2\pi \vartheta x_1 x_2 }}\exp \left\{ {-\frac{1} {{2\vartheta }}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]} \right\}

\Rightarrow \quad \mathcal{L}\left( {z,\vartheta } \right) = \ln L\left( {z,\vartheta } \right) = \ln \left( {\frac{1} {{2\pi \vartheta x_1 x_2 }}} \right)+\left\{ {-\frac{1} {{2\vartheta }}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]} \right\}

= -\ln \left( {2\pi x_1 x_2 } \right)-\ln \vartheta -\frac{1} {{2\vartheta }}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]

\Rightarrow \quad \frac{{d\mathcal{L}\left( {z,\vartheta } \right)}} {{d\vartheta }} = \mathcal{L}\:^\prime  \left( {z,\vartheta } \right) = -\frac{1} {\vartheta }+\frac{1} {{2\vartheta ^2 }}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right] = 0

\Rightarrow \quad \frac{1} {\vartheta } = \frac{1} {{2\vartheta ^2 }}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]

\Rightarrow \quad \vartheta  = \frac{1} {2}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]

\Rightarrow \quad \underline{\underline {MLE = T\left( Z \right) = T\left( {x_1 ,x_2 } \right) = \frac{1} {2}\left[ {\left( {\ln \left( {x_1 } \right)} \right)^2 +\left( {\ln \left( {x_2 } \right)} \right)^2 } \right]}}

\mathcal{J}\mathcal{K}