U05.3 – Modellierung, Stichprobenmittel, Erwartungstreue, Effizienz

Seien <br /> n \in \mathbb{N},\quad n \geq 2,\quad \:\Theta = \left\langle {0,\infty } \right\rangle ,\quad Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)<br /> eine Stichprobe vom Umfang n, wobei X1 gleichverteilt sei auf <br /> \left[ {0,2\vartheta } \right],\quad \vartheta \in \Theta<br /> unbekannt.

a) Geben Sie ein statistisches Modell für den beschriebenen Sachverhalt an.

b) Seien <br /> M: = \frac{1}<br /> {n}\left( {X_1 + \ldots +X_n } \right)<br /> das Stichprobenmittel, <br /> H: = \frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)<br /> .

Zeigen Sie, dass sowohl M als auch H erwartungstreue Schätzer für <br /> \gamma \left( \vartheta \right) = \vartheta<br /> sind, und dass H effizienter als M ist.

Hinweis: V 6, 1.6, Aufgabe 2.

Lösung

a)

Wegen der stetigen Gleichverteilung nehmen wir als Modell:

<br /> \Psi = \mathbb{R}_+^n ,\quad \mathcal{G} = \mathcal{B}\left( {\mathbb{R}_+^n } \right),\quad \mathcal{W}_Z = \left\{ {w_\vartheta |\vartheta \in \Theta } \right\},\quad w_\vartheta = p_\vartheta ^{ \otimes n}<br /> ,

wobei <br /> p_\vartheta<br /> = stetige Gleichverteilung auf <br /> \left[ {0,2\vartheta } \right]<br />

Wegen des Intervalls <br /> \left[ {0,2\vartheta } \right]<br /> benötigen wir nur positive reelle Zahlen. Das hoch n geht aus dem Umfang der Stichprobe hervor.

b)

Es sind gegeben:

<br /> M: = \frac{1}<br /> {n}\left( {X_1 + \ldots +X_n } \right)<br />

<br /> H: = \frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)<br />

Sei nun <br /> Y: = \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)<br />

Stetig-gleichverteilte Zufallsvariablen:

Wenn X gleichverteilt ist auf dem Intervall [a,b] dann gilt:

<br /> f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}<br /> {\frac{1}<br /> {{b-a}}} & {a \leq x \leq b} \\<br /> 0 & {sonst} \\</p> <p> \end{array} } \right.<br />

<br /> E\left( X \right) = \frac{{a+b}}<br /> {2}<br />

<br /> \operatorname{var} \left( X \right) = \frac{{\left( {b-a} \right)^2 }}<br /> {{12}}<br />

.

Zudem gilt für einfache reellwertige Stichproben:

<br /> E_\vartheta \left( X \right): = \mu = E_\vartheta \left( M \right)<br />
<br /> \operatorname{var} _\vartheta \left( {M\left( n \right)} \right) = \frac{{\sigma ^2 }}<br /> {n} = \frac{{\operatorname{var} \left( X \right)}}<br /> {n}<br />

Damit folgt also:

<br /> E_\vartheta \left( X \right) = \frac{{0+2\vartheta }}<br /> {2} = \vartheta \quad = \mu = \quad E_\vartheta \left( M \right) = \vartheta = \gamma \left( \vartheta \right)<br /> ,

Damit sind X und M also erwartungstreu.

<br /> \operatorname{var} _\vartheta \left( X \right) = \frac{{\left( {b-a} \right)^2 }}<br /> {{12}} = \frac{{\left( {2\vartheta } \right)^2 }}<br /> {{12}} = \frac{{\vartheta ^2 }}<br /> {3}<br />

<br /> \operatorname{var} _\vartheta \left( {M\left( n \right)} \right) = \frac{{\sigma ^2 }}<br /> {n} = \frac{{\operatorname{var} \left( X \right)}}<br /> {n} = \underline{\underline {\frac{{\vartheta ^2 }}<br /> {{3n}}}}<br />

Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz:

Da der Erwartungswert linear ist (was daraus folgt, dass das Integral ein linearer Operator ist) gilt:

<br /> \operatorname{E} (kX+d) = k\operatorname{E} (X)+d\quad ,\quad k,d \in \mathbb{R}<br />

<br /> \operatorname{Var} (aX+b) = a^2 \operatorname{Var} (X)<br />

(Siehe auch: dieser Artikel)

<br /> E_\vartheta \left( H \right) = E_\vartheta \left( {\frac{{n+1}}<br /> {{2n}}\max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)} \right) = E_\vartheta \left( {\frac{{n+1}}<br /> {{2n}}Y} \right) = \frac{{n+1}}<br /> {{2n}}E_\vartheta \left( Y \right) = \ldots<br />

Aus der vorherigen Aufgabe übernehmen wir:

<br /> \underline{\underline {E\left( Y \right) = \frac{{n\:2\vartheta }}<br /> {{n+1}}}} \quad ,\quad \underline{\underline {\operatorname{var} \left( Y \right) = \frac{{n\:4\vartheta ^2 }}<br /> {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }}}}<br />

<br /> \Rightarrow \quad E_\vartheta \left( H \right) = \frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot E_\vartheta \left( Y \right) = \frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot \frac{{n\:2\vartheta }}<br /> {{n+1}} = \underline{\underline \vartheta }<br />

Damit ist also auch H erwartungstreu.

</p> <p> \operatorname{var} _\vartheta \left( H \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( {\frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot \max \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)} \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( {\frac{{n+1}}<br /> {{2n}} \cdot Y} \right)<br />

<br /> = \left( {\frac{{n+1}}<br /> {{2n}}} \right)^2 \cdot \operatorname{var} _\vartheta \left( Y \right) = \frac{{\left( {n+1} \right)^2 }}<br /> {{4n^2 }} \cdot \frac{{n\:4\vartheta ^2 }}<br /> {{\left( {n+2} \right)\left( {n+1} \right)^2 }} = \underline{\underline {\frac{{\vartheta ^2 }}<br /> {{n\left( {n+2} \right)}}}}<br />

Für erwartungstreue Schätzer gilt wir in Aufgabe 1:

<br /> MSE\left( {\vartheta ,g} \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( g \right)\quad ,\quad \forall \vartheta \in \Theta<br />

Also:

<br /> MSE\left( {\vartheta ,M} \right) = \operatorname{var} _\vartheta \left( M \right) = \frac{{\vartheta ^2 }}<br /> {{3n}} > \frac{{\vartheta ^2 }}<br /> {{n\left( {n+2} \right)}} = \operatorname{var} _\vartheta \left( H \right) = MSE\left( {\vartheta ,H} \right)<br />

<br /> \quad ,\quad \forall n \in \mathbb{N},\quad n \geq 2<br />

Da H den kleineren MSE hat ist H effizienter.

q.e.d.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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