Übergang von stabilem zu instabilem Verhalten eines periodischen Orbits bei einem Kreisel in horizontaler Kardanischer Aufhängung

 

Autor: Florian Fritz Krause

Erstkorrektor: Prof. Dr. Peter H. Richter

Zweitkorrektor: Prof. Dr. Klaus Pawelzik

Abgabe: August 2010

Kurzfassung

Die Dynamik starrer Körper im konstanten Schwerefeld ist außer in wenigen Spezialfällen (Euler, Lagrange, Kovalevskaya) nicht integrabel. Das gilt bereits mit dem üblichen Konfigurationsraum SO(3), bei dem man den Winkel der Rotation um die Schwerkraftrichtung abseparieren kann, so daß nur zwei Freiheitsgrade relevant sind. Da die Energie eine Erhaltungsgröße ist, fehlt zur Integrabilität i. a. eine Erhaltungsgröße. Die Folge ist eine chaotische Dynamik von bekannter Art.

Aus Sicht der Physik ist aber zu bedenken, daß man eine Aufhängevorrichtung braucht, wenn ein Punkt des Körpers festgehalten werden soll, der nicht der Schwerpunkt ist. In der Praxis benutzt man dafür gerne die Kardanrahmen – aber dann ist der Konfigurationsraum nicht mehr SO(3), sondern ein 3-Torus, und in den Bewegungsgleichungen kann man die Freiheitsgrade nur dann reduzieren, wenn die Achse der Aufhängung parallel zur Richtung der Schwerkraft steht. Ist das nicht der Fall, dann fehlen i. a. zwei Erhaltungsgrößen, und das Chaos ist stärker ausgeprägt. Das zeigt sich deutlich, wenn man – bei einem asymmetrischen Kreiselkörper – die Rahmenachse horizontal stellt und die gleichförmige Rotation des Kreisels um die stabile Hängelage betrachtet: Während sie bei aufrechter Stellung des Rahmens stabil ist, wird sie bei horizontaler Achsenstellung schon bei geringen Rotationsfrequenzen instabil. Beobachtungen am realen Kreisel hatten gezeigt, daß das Szenario des Übergangs ins Chaos interessante Züge aufweist, deren Natur diese Arbeit aufklären sollte.

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