4.1 – Überschallmessstrecke

 

Zum Betrieb einer Überschallmessstrecke wird Luft mit den Zustandsgrößen {p_1}, {T_1} und M{a_1} durch ein Rohr mit der Querschnittsfläche {A_1} einer Lavaldüse zugeführt. Dort entspannt die Strömung auf den Druck {p_2}. An der Stelle 2 wird zu Versuchszwecken ein stumpfer Verdrängungskörper in die Strömung gehalten, so dass sich vor dem Körper ein senkrechter Verdichtungsstoß einstellt.

Die Strömung sei stationär, eindimensional und isentrop (mit Ausnahme des Stoßes).

eindimensionale-gasstromung-lavalduse-verdichtung-stos

Gegeben: {p_1} = 6,5bar, {T_1} = 440K, M{a_1} = 0,5, {A_1} = 0,01{m^2}, {p_2} = 1,0bar, R = 287\frac{J}{{kgK}}, \kappa = 1,4

  1. Welche Machzahl M{a_2} erreicht man in der Messstrecke?
  2. Bestimmen Sie die Größe der Flächen {A^*} und {A_2}.
  3. Welcher Massenstrom geht durch die Versuchsanlage?
  4. Berechnen Sie die Zustandsgrößen M{a_3}, {p_3} und {T_3} hinter dem Stoß. Wie groß ist die Temperatur {T_S} im Staupunkt des Verdrängungskörpers?

Lösung

a)

\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = \frac{1}{{{{\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)}^{\frac{\kappa }{{\kappa -1}}}}}}

\quad \Rightarrow \quad {p_0} = {p_1}{\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)^{\frac{\kappa }{{\kappa -1}}}} = 7,71bar

\frac{{{p_2}}}{{{p_0}}} = \frac{1}{{{{\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_2^2} \right)}^{\frac{\kappa }{{\kappa -1}}}}}}

\quad \Rightarrow \quad M{a_2} = \sqrt {\frac{2}{{\kappa -1}}\left[ {{{\left( {\frac{{{p_0}}}{{{p_2}}}} \right)}^{\frac{{\kappa -1}}{\kappa }}}-1} \right]} = 2,0

b)

Wir haben eine Formel für das Verhältnis der Querschnittsflächen:

\frac{{{A_1}}}{{{A^*}}} = \frac{1}{{M{a_1}}}{\left[ {\frac{2}{{\kappa -1}}\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)} \right]^{\frac{{\kappa +1}}{{2\left( {\kappa -1} \right)}}}}

\quad \Rightarrow \quad {A^*} = \frac{{{A_1}M{a_1}}}{{{{\left[ {\frac{2}{{\kappa -1}}\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)} \right]}^{\frac{{\kappa +1}}{{2\left( {\kappa -1} \right)}}}}}} = 0,012{m^2}

Wir hätten das Ergebnis auch aus dem Diagramm ablesen können:

flache-druck-temperatur-mach-zahl-dichte-verhaltnis-diagramm

Die zweite gesuchte Größe ist {A_2}. Es gilt die gleiche Formel wie für die andere Querschnittsfläche:

{A_2} = {A^*}\frac{1}{{M{a_2}}}{\left[ {\frac{2}{{\kappa -1}}\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_2^2} \right)} \right]^{\frac{{\kappa +1}}{{2\left( {\kappa -1} \right)}}}} = 0,02

c)

Für den Massenstrom gilt:

\dot m = {\rho _1}{u_1}{A_1}

{p_1} = {\rho _1}R{T_1}\quad \Rightarrow \quad {\rho _1} = \frac{{{p_1}}}{{R{T_1}}} = 5,15\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{u_1} = M{a_1}\sqrt {\kappa R{T_1}} = 210,23\frac{m}{s}

\dot m = {\rho _1}{u_1}{A_1} = 17,31\frac{{kg}}{s}

d)

\frac{{M{a_3}}}{{M{a_2}}} = \sqrt {\frac{{\frac{2}{{Ma_2^2}}+\left( {\kappa -1} \right)}}{{2\kappa Ma_2^2-\left( {\kappa -1} \right)}}}

\quad \Rightarrow \quad M{a_3} = M{a_2}\sqrt {\frac{{\frac{2}{{Ma_2^2}}+\left( {\kappa -1} \right)}}{{2\kappa Ma_2^2-\left( {\kappa -1} \right)}}} = 0,58

\frac{{{p_3}}}{{{p_2}}} = 1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_2^2-1} \right)

\quad \Rightarrow \quad {p_3} = {p_2}\left[ {1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_2^2-1} \right)} \right] = 4,5bar

\frac{{{T_3}}}{{{T_2}}} = \left[ {1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_2^2-1} \right)} \right]\left( {\frac{{\kappa -1}}{{\kappa +1}}+\frac{2}{{\kappa +1}}\frac{1}{{Ma_2^2}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {T_3} = {T_2}\left[ {1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_2^2-1} \right)} \right]\left( {\frac{{\kappa -1}}{{\kappa +1}}+\frac{2}{{\kappa +1}}\frac{1}{{Ma_2^2}}} \right)

Wir brauchen hier noch die Temperatur {T_2} vor dem Stoß. Diese bestimmen wir mit der Isentropenbeziehung:

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = {\left( {\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}}} \right)^{\frac{\kappa }{{\kappa -1}}}}\quad \Rightarrow \quad {T_2} = {T_1}{\left( {\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}} \right)^{\frac{{\kappa -1}}{\kappa }}} = 257,75K

\quad \Rightarrow \quad {T_3} = 433,69K

Als letztes bestimmen wir noch die Temperatur {T_S} im Staupunkt des Verdrängungskörpers. Dazu berechnen wir zunächst die Temperatur im Kessel:

\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}} = {\left( {1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2} \right)^{-1}}\quad \Rightarrow \quad {T_0} = 462K

Nun führen wir eine Energiebilanz für den Stromfaden vom Kessel zum Staupunkt durch:

{c_p}{T_0}+\underbrace {\frac{{u_0^2}}{2}}_{ \approx 0} = {c_p}{T_S}+\underbrace {\frac{{u_S^2}}{2}}_{ \approx 0}\quad \Rightarrow \quad {T_S} = {T_0} = 462K

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1 Kommentar zu “4.1 – Überschallmessstrecke”

Also der Massestrom in Aufgabenteil c) ist falsch. Bis zum letzten Schritt stimmt die Rechnung, da A1 jedoch 0,01 m² ist müsste 10,8 als Massestrom rauskommen. Ist wohl nur was verkehrtes eingesetzt worden!

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