4.4 – Überschallströmung, Machsche Linie

 

An einem Keil mit Öffnungswinkel \alpha ist eine dünne Platte angebracht. Die Anordnung wird einer ebenen Überschallströmung ausgesetzt. An der Spitze der Platte bildet sich eine Machsche Linie mit dem Winkel \mu.

keil-anstromung-machscher-winkel-verdichtung-schrag

Gegeben: \alpha = 16^\circ, \mu = 45^\circ, \kappa = 1,4

  1. Mit welcher Machzahl M{a_1} wird die Platte angeströmt?
  2. Berechnen Sie den Stoßwinkel \beta und die Machzahl M{a_2} nach dem schrägen Stoß. Bestimmen Sie die Größen mit einem Stoßpolarendiagramm.
  3. Wie groß sind das Druckverhältnis {p_2}/{p_1} bzw. das Temperaturverhältnis {T_2}/{T_1}?
  4. Skizzieren Sie den Verlauf der Stromlinien

Lösung

a)

\sin \mu = \frac{1}{{M{a_1}}}

\quad \Rightarrow \quad M{a_1} = \frac{1}{{\sin \mu }} = 1,41

b)

Die Strömung wird um \Theta = \frac{\alpha }{2} = 8^\circ abgelenkt. Aus dem Stoßdiagramm (schwache Lösung M{a_2} > 1) ergibt sich mit M{a_1} = 1,41 :

mach-zahl-stos-winkel-umlenk-schrag-normal-shock

\beta = 58^\circ

Ma_2^2{\sin ^2}\left( {\beta -\Theta } \right) = \frac{{1+\frac{{\kappa -1}}{2}Ma_1^2{{\sin }^2}\beta }}{{\kappa Ma_1^2{{\sin }^2}\beta -\frac{{\kappa -1}}{2}}}

\quad \Rightarrow \quad M{a_2} = 1,08

c)

Wir benutzen die beiden Formeln für den schrägen Verdichtungsstoß:

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left[ {{{\left( {M{a_1}\sin \beta } \right)}^2}-1} \right] = 1,51

\frac{{{T_2}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\left( {\frac{{\kappa -1}}{{\kappa +1}}+\frac{2}{{\kappa +1}}\frac{1}{{{{\left( {M{a_1}\sin \beta } \right)}^2}}}} \right) = 1,13

d)

keil-umstromung-stromlinien-skizze-verlauf