5.1 – Umlenkung in ebenem Kanal

 

Ein ideales Gas mit den Zustandsgrößen {p_1}, {T_1} und M{a_1} strömt durch einen ebenen Kanal, dessen obere Kontur der Stromlinie einer Prandtl-Meyer-Strömung entspricht. Die Umlenkung beträgt \vartheta. Vor der Umlenkung hat der Kanal die Höhe {h_1}, die Tiefe beträgt b.

prandtl-meyer-stromung-umlenkung-kanal-expansion-facher

Gegeben: {p_1} = 0,4bar, {T_1} = 250K, M{a_1} = 1,6, R = 287\frac{J}{{kgK}}, \kappa = 1,4, {h_1} = 0,3m, b = 1m, \vartheta = 30^\circ

  1. Wie groß ist die Geschwindigkeit {u_1} und welcher Massenstrom \dot m geht durch die Anlage?
  2. Bestimmen Sie Winkel und Radius des Punktes A, an dem die Krümmung der oberen Kanalkontur beginnt.
  3. Berechnen Sie die Zustandsgrößen M{a_2}, {p_2}, {T_2} , {\rho _2} und {u_2}.
  4. Welche Höhe {h_2} hat der Kanal am Ende?

Lösung

a)

{u_1} = M{a_1}\sqrt {\kappa R{T_1}} = 507,1\frac{m}{s}

\dot m = {\rho _1}{u_1}b{h_1} = \frac{{{p_1}}}{{R{T_1}}}{u_1}b{h_1} = 84,81\frac{{kg}}{s}

b)

Der erste Expansionsfächer entspricht der Machschen Linie:

{\mu _A} = \arcsin \frac{1}{{M{a_1}}} = 38,68^\circ

\sin {\mu _A} = \frac{{{h_1}}}{{{r_A}}}\quad \Rightarrow \quad {r_A} = 0,48m

c)

Prandtl-Meyer-Eckenströmung:

\nu \left( {Ma} \right) = \sqrt {\frac{{\kappa +1}}{{\kappa -1}}} \arctan \left( {\sqrt {\frac{{\kappa -1}}{{\kappa +1}}} \left( {M{a^2}-1} \right)} \right)-\arctan \left( {\sqrt {M{a^2}-1} } \right)

Es ergibt sich {\nu _1}\left( {M{a_1}} \right) = 14,86^\circ.

\nu = {\nu _1}+\vartheta = 44,86^\circ

\quad \Rightarrow \quad M{a_2} = 2,76

Wir benutzen nun folgendes Diagramm:

flache-druck-temperatur-mach-zahl-dichte-verhaltnis-diagramm

Aus M{a_1} = 1,6 können wir ablesen:

\frac{{{p_1}}}{{{p_0}}} = 0,235\quad \Rightarrow \quad {p_0} = 1,7bar

\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}} = 0,66\quad \Rightarrow \quad {T_0} = 378,8K

Aus M{a_2} = 2,76 können wir dann schlussfolgern:

\frac{{{p_2}}}{{{p_0}}} = 0,0392\quad \Rightarrow \quad {p_2} = 0,066bar

\frac{{{T_2}}}{{{T_0}}} = 0,396\quad \Rightarrow \quad {T_2} = 150K

{\rho _2} = \frac{{{p_2}}}{{R{T_2}}} = 0,1549\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{u_2} = M{a_2}\sqrt {\kappa R{T_2}} = 677,1\frac{m}{s}

Wir zeichnen eine charakteristische Stromlinie ein:

prandtl-meyer-stromung-stromlinie-kanal

{\mu _2} = \arcsin \frac{1}{{M{a_2}}} = 21,24^\circ

d)

Um die Höhe {h_2} zu bestimmen, benutzen wir die Kontinuitätsgleichung:

m = \operatorname{const} = {\rho _2}{u_2}b{h_2}

\quad \Rightarrow \quad {h_2} = \frac{m}{{{\rho _2}{u_2}b}} = 0,807m