.04.3 – Unebenheiten in der Straße lassen ein Auto schwingen

 

Man ermittle die Eigenkreisfrequenzen des abgebildeten Wagenkastens für vertikale Schwingungen. Bei welcher Fahrgeschwindigkeit vkrit können Resonanzerscheinungen auftreten, wenn in gleichen Abständen L vorhandene Unebenheiten der Fahrbahn das Fahrzeug periodisch anregen?

angeregtes Auto Aufgabenstellung Schwingung
Gegeben:

m = 500kg, a = 1,25m, b = 1,5m, L = 30m, c1 = 25 N/mm, c2 = 35 N/mm, is = 1,1m, Θs = is2 m

i ist der Trägheitsradius des gesamten Wagens

Lösung

Wir stellen zunächst folgende Tatsachen fest:

  • Eine Masse
  • 2 Freiheitsgrade
  • Translation und Rotation
  • Fußpunktanregung
  • keine Dämpfung
  • g-Einfluss

Zusammenhänge:

x_L = x+a \varphi

x_R = x-b \varphi

F_1 = c_1 \left( x+a \varphi \right)

F_2 = c_2 \left( x-b \varphi \right)

Schwerpunktsatz:

m \ddot x =-m g-F_1-F_2

m \ddot x =-m g-c_1 x-c_1 a \varphi-c_2 x+c_2 b \varphi

Drallsatz:

\Theta_s \ddot \varphi = i_s^2 m \ddot \varphi =-a F_1+b F_2

i_s^2 m \ddot \varphi =-a c_1 x-a^2 c_1 \varphi+b c_2 x-b^2 c_2 \varphi

Wir stellen um:

m \ddot x+\left( c_1+c_2 \right) x+\left( c_1 a-c_2 b \right) \varphi =-mg

i_s^2m \ddot \varphi+\left( a c_1-b c_2 \right) x+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \varphi = 0

Daraus folgt in Matrixschreibweise:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    m & 0  \\    0 & {i_s^2 m}  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot x  \\    {\ddot \phi }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    c_1 +c_2  & {c_1 a-c_2 b}  \\    {c_1 a-c_2 b} & {c_1 a^2 +c_2 b^2 }  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    x  \\    \phi   \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {-mg}  \\    0  \\   \end{array} } \right\}

Abspaltung statischer Durchsenkung:

x = x_{stat}, \quad \varphi = \varphi_{stat}, \quad \ddot x = \ddot \varphi = 0

\left( c_1+c_2 \right) x_{stat}+\left( a c_1-b c_2 \right) \varphi_{stat} = -m g

\left( a c_1-b c_1 \right) x_{stat}+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \varphi_{stat} = 0

\varphi_{stat} = \frac{c_1 a -c_2 b}{c_1 a^2+c_2 b^2} x_{stat}

x_{stat} =-\frac{c_1 a^2+c_2b^2}{c_1c_2 \left( a+b \right)^2} mg

\varphi_{stat} = \frac{c_1a-c_2 b}{c_1c_2 \left( a+b \right) ^2} mg

x = y+x_{stat}

\varphi = \psi+\varphi_{stat}

m \ddot y+\left( c_1+c_2 \right) y+\left( c_1 a-c_2 b \right) \psi = 0

i_s^2 m \ddot \psi+\left( a c_1-bc_2 \right) y+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \psi = 0

Daraus folgt in Matrixschreibweise:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    m & 0  \\    0 & {i_s^2 m}  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot y  \\    {\ddot \psi }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    {c_1 +c_2 } & {c_1 a-c_2 b}  \\    {c_1 a-c_2 b} & {c_1 a^2 +c_2 b^2 }  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\   \end{array} } \right\}

Nun bringen wir die Matrixgleichung auf Standardform, indem wir oben durch die Masse und unten durch das Quadrat des Trägheitsradius und die Masse dividieren:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & 1  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot y  \\    {\ddot \psi }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}}  \\    {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}}  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\   \end{array} } \right\}

Um das Gleichungssystem zu lösen, verwenden wir den Lösungsansatz

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat ye^{\omega t}   \\    {\hat \psi e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\} = e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot y  \\    {\ddot \psi }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 \hat ye^{\omega t}   \\    {\omega ^2 \hat \psi e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\} = \omega ^2 e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}

einsetzen:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & 1  \\   \end{array} } \right]\omega ^2 e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}}  \\    {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}}  \\   \end{array} } \right]e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\   \end{array} } \right\}

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 +\frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}}  \\    {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\omega ^2 +\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}}  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\   \end{array} } \right\}

Die Determinante muss 0 sein:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 +\frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}}  \\    {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\omega ^2 +\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}}  \\   \end{array} } \right| = 0

Um Rechenfehler zu vermeiden und die Übersichtlichkeit zu erhöhen setzen wir nun neue Konstanten ein:

a_{11}  = \frac{{c_1 +c_2 }} {m} = 120s^{-2}

a_{12}  = \frac{{c_1 a-c_2 b}} {m} = -42,5m^{-1} s^{-2}

a_{21}  = \frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}} = -35,124m^{-1} s^{-2}

a_{22}  = \frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}} = 194,73s^{-2}

Eingesetzt:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 +a_{11}  & {a_{12} }  \\    {a_{21} } & {\omega ^2 +a_{22} }  \\   \end{array} } \right| = 0

\left( {\omega ^2 +a_{11} } \right)\left( {\omega ^2 +a_{22} } \right)-a_{12} a_{21}  = 0

\omega ^4 +\omega ^2 \left( {a_{22} +a_{11} } \right)+a_{11} a_{22} -a_{12} a_{21}  = 0

\omega _{1,2}^2  = -\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2} \pm \sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} }

\omega _1  = \sqrt {-\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}+\sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} } }

= i\sqrt {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}-\sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} } }  = i \cdot 10,179s^{-1}

\omega _2  = i \cdot 14,53s^{-1}

Die Werte sind komplex, da sie, in den Ansatz eingesetzt, einen durch die Eulergleichung umformbaren komplexen Term ergeben müssen:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = e^{i \cdot 10,179s^{-1} t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}

und

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = e^{i \cdot 14,53s^{-1} t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}

Hätte man als Ansatz statt dessen

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    y  \\    \psi   \\   \end{array} } \right\} = e^{i\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat y  \\    {\hat \psi }  \\   \end{array} } \right\}

gewählt, hätte man direkt die reellen Eigenkreisfrequenzen erhalten.

Resonanzgeschwindigkeiten:

f_{cr}  = \frac{{v_{cr} }} {L} = \frac{\omega } {{2\pi }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad v_{cr}  = \frac{{\omega L}} {{2\pi }}

v_{cr1}  = 48,6\frac{m} {s} = 174,96\frac{{km}} {h}

v_{cr2}  = 69,4\frac{m} {s} = 249,75\frac{{km}} {h}