.04.3 – Unebenheiten in der Straße lassen ein Auto schwingen

Man ermittle die Eigenkreisfrequenzen des abgebildeten Wagenkastens für vertikale Schwingungen. Bei welcher Fahrgeschwindigkeit v_krit können Resonanzerscheinungen auftreten, wenn in gleichen Abständen L vorhandene Unebenheiten der Fahrbahn das Fahrzeug periodisch anregen?

angeregtes Auto Aufgabenstellung Schwingung
Gegeben:

m = 500kg, a = 1,25m, b = 1,5m, L = 30m, c₁ = 25 N/mm, c₂ = 35 N/mm, i_s = 1,1m, Θ_s = i_s² m

i ist der Trägheitsradius des gesamten Wagens

Lösung

Wir stellen zunächst folgende Tatsachen fest:

Eine Masse
2 Freiheitsgrade
Translation und Rotation
Fußpunktanregung
keine Dämpfung
g-Einfluss

Zusammenhänge:

$x_L = x+a \varphi$

$x_R = x-b \varphi$

$F_1 = c_1 \left( x+a \varphi \right)$

$F_2 = c_2 \left( x-b \varphi \right)$

Schwerpunktsatz:

$m \ddot x =-m g-F_1-F_2$

$m \ddot x =-m g-c_1 x-c_1 a \varphi-c_2 x+c_2 b \varphi$

Drallsatz:

$\Theta_s \ddot \varphi = i_s^2 m \ddot \varphi =-a F_1+b F_2$

$i_s^2 m \ddot \varphi =-a c_1 x-a^2 c_1 \varphi+b c_2 x-b^2 c_2 \varphi$

Wir stellen um:

$m \ddot x+\left( c_1+c_2 \right) x+\left( c_1 a-c_2 b \right) \varphi =-mg$

$i_s^2m \ddot \varphi+\left( a c_1-b c_2 \right) x+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \varphi = 0$

Daraus folgt in Matrixschreibweise:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} m & 0 \\ 0 & {i_s^2 m} \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \ddot x \\ {\ddot \phi } \\ \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c_1 +c_2 & {c_1 a-c_2 b} \\ {c_1 a-c_2 b} & {c_1 a^2 +c_2 b^2 } \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ \phi \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-mg} \\ 0 \\ \end{array} } \right\}$

Abspaltung statischer Durchsenkung:

$x = x_{stat}, \quad \varphi = \varphi_{stat}, \quad \ddot x = \ddot \varphi = 0$

$\left( c_1+c_2 \right) x_{stat}+\left( a c_1-b c_2 \right) \varphi_{stat} = -m g$

$\left( a c_1-b c_1 \right) x_{stat}+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \varphi_{stat} = 0$

$\varphi_{stat} = \frac{c_1 a -c_2 b}{c_1 a^2+c_2 b^2} x_{stat}$

$x_{stat} =-\frac{c_1 a^2+c_2b^2}{c_1c_2 \left( a+b \right)^2} mg$

$\varphi_{stat} = \frac{c_1a-c_2 b}{c_1c_2 \left( a+b \right) ^2} mg$

$x = y+x_{stat}$

$\varphi = \psi+\varphi_{stat}$

$m \ddot y+\left( c_1+c_2 \right) y+\left( c_1 a-c_2 b \right) \psi = 0$

$i_s^2 m \ddot \psi+\left( a c_1-bc_2 \right) y+\left( a^2 c_1+b^2 c_2 \right) \psi = 0$

Daraus folgt in Matrixschreibweise:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} m & 0 \\ 0 & {i_s^2 m} \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \ddot y \\ {\ddot \psi } \\ \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c_1 +c_2 } & {c_1 a-c_2 b} \\ {c_1 a-c_2 b} & {c_1 a^2 +c_2 b^2 } \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right\}$

Nun bringen wir die Matrixgleichung auf Standardform, indem wir oben durch die Masse und unten durch das Quadrat des Trägheitsradius und die Masse dividieren:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \ddot y \\ {\ddot \psi } \\ \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}} \\ {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}} \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right\}$

Um das Gleichungssystem zu lösen, verwenden wir den Lösungsansatz

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat ye^{\omega t} \\ {\hat \psi e^{\omega t} } \\ \end{array} } \right\} = e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \ddot y \\ {\ddot \psi } \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \omega ^2 \hat ye^{\omega t} \\ {\omega ^2 \hat \psi e^{\omega t} } \\ \end{array} } \right\} = \omega ^2 e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}$

einsetzen:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} } \right]\omega ^2 e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}} \\ {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}} \\ \end{array} } \right]e^{\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right\}$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \omega ^2 +\frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}} \\ {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\omega ^2 +\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}} \\ \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ \end{array} } \right\}$

Die Determinante muss 0 sein:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \omega ^2 +\frac{{c_1 +c_2 }} {m} & {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {m}} \\ {\frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}}} & {\omega ^2 +\frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}}} \\ \end{array} } \right| = 0$

Um Rechenfehler zu vermeiden und die Übersichtlichkeit zu erhöhen setzen wir nun neue Konstanten ein:

$a_{11} = \frac{{c_1 +c_2 }} {m} = 120s^{-2}$

$a_{12} = \frac{{c_1 a-c_2 b}} {m} = -42,5m^{-1} s^{-2}$

$a_{21} = \frac{{c_1 a-c_2 b}} {{i_s^2 m}} = -35,124m^{-1} s^{-2}$

$a_{22} = \frac{{c_1 a^2 +c_2 b^2 }} {{i_s^2 m}} = 194,73s^{-2}$

Eingesetzt:

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \omega ^2 +a_{11} & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {\omega ^2 +a_{22} } \\ \end{array} } \right| = 0$

$\left( {\omega ^2 +a_{11} } \right)\left( {\omega ^2 +a_{22} } \right)-a_{12} a_{21} = 0$

$\omega ^4 +\omega ^2 \left( {a_{22} +a_{11} } \right)+a_{11} a_{22} -a_{12} a_{21} = 0$

$\omega _{1,2}^2 = -\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2} \pm \sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} }$

$\omega _1 = \sqrt {-\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}+\sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} } }$

$= i\sqrt {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}-\sqrt {\left( {\frac{{a_{22} +a_{11} }} {2}} \right)^2 -a_{11} a_{22} +a_{12} a_{21} } } = i \cdot 10,179s^{-1}$

$\omega _2 = i \cdot 14,53s^{-1}$

Die Werte sind komplex, da sie, in den Ansatz eingesetzt, einen durch die Eulergleichung umformbaren komplexen Term ergeben müssen:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = e^{i \cdot 10,179s^{-1} t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}$

und

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = e^{i \cdot 14,53s^{-1} t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}$

Hätte man als Ansatz statt dessen

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} y \\ \psi \\ \end{array} } \right\} = e^{i\omega t} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \hat y \\ {\hat \psi } \\ \end{array} } \right\}$