4.4 – Unendliche periodische Darstellungen

 

Eine Zahl X in der B-adischen Darstellung (d.h. polyadische Darstellung zur Basis B) hat eine unendliche periodische Darstellung der Periodenlänge p, falls X eine unendliche B-adische Entwicklung hat und die Nachkommastellen {x_{-k}} für k \geq m+1 periodisch mit Periodenlänge p sind, d.h.

X = \sum\limits_{k = -m}^n {{x_k}{B^k}} +\sum\limits_{k = m+1}^\infty {{x_{-k}}{B^{-k}}}

\forall k \in \left\{ {m+1, \ldots ,m+p} \right\},\quad \quad \forall v \in \mathbb{N}:{x_{-k}} = {x_{-\left( {k+vp} \right)}}

Man schreibt:

X = {x_n} \ldots {x_1}{x_0},{x_{-1}} \ldots {x_{-m}}{\overline {{x_{-\left( {m+1} \right)}} \ldots {x_{-\left( {k+vp} \right)}}} _B}

Zum Beispiel:

B=10: 23,2{\overline {78} _{10}} = 2 \cdot {10^1}+3 \cdot {10^0}+4 \cdot {10^{-1}}+7 \cdot {10^{-2}}+8 \cdot {10^{-3}}+7 \cdot {10^{-4}}+ \ldots

B=2: 10,{\overline {010} _2} = 1 \cdot {2^1}+0 \cdot {2^0}+0 \cdot {2^{-1}}+1 \cdot {2^{-2}}+0 \cdot {2^{-3}}+0 \cdot {2^{-4}}+1 \cdot {2^{-5}}+ \ldots

Aufgaben:

  1. Gibt es eine Zahl mit endlicher Dezimalzahldarstellung, die eine unendliche periodische Dualzahldarstellung hat?
  2. Gibt es eine Zahl mit endlicher Dualzahldarstellung, die eine unendliche periodische Dezimalzahldarstellung hat?
  3. Gibt es eine Zahl mit endlicher Dualzahldarstellung, die eine unendliche periodische 5-adische Darstellung hat?
  4. Gibt es eine ganzzahlige Basis B, so dass die Dezimalzahl \sqrt 2 eine endliche oder unendliche periodische B-adische Entwicklung hat?

Lösung

X = \sum\limits_{k = 0}^n {{x_k}{B^k}} +\sum\limits_{k = -m}^{-1} {{x_k}{B^k}} +\sum\limits_{k = -\infty }^{-m-1} {{x_k}{B^k}}

Dabei ist die erste Summe der ganzzahlige Anteil, wobei {x_k} \in \left\{ {0, \ldots ,B-1} \right\}. Die mittlere Summe stellt die nichtperiodischen Nachkommastellen dar, die dritte Summe die periodischen.

a)

Wir betrachten beispielsweise die Zahl x = {0,2_{10}} in Dualzahldarstellung:

0,2*2=0,4+0
0,4*2=0,8+0
0,8*2=0,6+1
0,6*2=0,2+1
0,2*2=0,4+0

{0,2_{10}} = 0,00110011{ \ldots _2} = 0,{\overline {0011} _2}

Die Zahl 0,2 ist also im Dezimalsystem endlich, im Binärsystem aber periodisch.

b)

Nein, denn für eine Zahl mit endlicher Dualzahldarstellung, o. E. 0 < X < 1 gilt:

\sum\limits_{k = 1}^m {{x_{-k}}{2^{-k}}} = \frac{{{x_{-1}}}}{2}+\frac{{{x_{-2}}}}{{{2^2}}}+ \ldots +\frac{{{x_{-m}}}}{{{2^m}}} = \frac{{{x_{-1}} \cdot {2^{m-1}}+ \ldots +{x_{-m}} \cdot {2^0}}}{{{2^m}}}

\mathop = \limits^{ \in \mathbb{N}} \frac{{\left( {{x_{-1}} \cdot {2^{m-1}}+ \ldots +{x_{-m}} \cdot {2^0}} \right) \cdot {5^m}}}{{{{10}^m}}} = {10^{-m}}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_{-i}} \cdot {{10}^{-i+m}}} = \sum\limits_{y = 1}^n {{y_{-i}} \cdot {{10}^i}}

Es kann also jede endliche Zahl im Binärsystem als endliche Zahl im Dezimalsystem dargestellt werden.

c)

Wir wählen als Beispiel 0,1 im Dualsystem. Wir wandeln dazu zuerst 0,1 ins Dezimalsystem und von dort aus ins 5-adische System um:

{0,1_2} = {0,5_{10}}

{0,5_{10}} \cdot 5 = 0,5+2

{0,5_{10}} \cdot 5 = 0,5+2

\quad \Rightarrow \quad {0,1_2} = {0,5_{10}} = 0,{\overline 2 _5}

Wir haben also eine entsprechende Zahl gefunden.

d)

\sqrt 2 ist irrational, also \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}

Jede Zahl mit endlicher B-adischer Entwicklung ist aber rational. Wir zeigen nun, dass auch jede Zahl, die eine unendliche B-adische Entwicklung hat, rational ist. Es genügt, sich nur den periodischen Antail anzuschauen, d.h. sei :

X = \sum\limits_{k = 1}^m {{x_{-k}}{B^{-k}}} +\underbrace {\sum\limits_{k = m+1}^\infty {{x_{-k}}{B^{-k}}} }_{periodisch}

= \sum\limits_{k = 1}^m {{x_{-k}}{B^{-k}}} +\left( {\sum\limits_{k = m+1}^{m+p} {{x_{-k}}{B^{-k}}} } \right) \cdot \sum\limits_{k = 0}^\infty {{B^{-kp}}}

= \underbrace {\left( {\sum\limits_{k = m+1}^{m+p} {{x_{-k}}{B^{-k}}} } \right)}_{ \in \mathbb{Q}} \cdot \underbrace {\frac{1}{{1-{B^{-p}}}}}_{ \in \mathbb{Q}} \in \mathbb{Q}