13 c – Konvergenz von Folgen

 

Untersuchen Sie die nachstehende Folge auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert:

\left( {\frac{{4-\left( {2-\left( {n+1} \right)^{-1} } \right)^2 }} {{8-\left( {2-\left( {n+1} \right)^{-1} } \right)^3 }}} \right)_n

Lösung

Die erste Überlegung, die man anstellen könnte, wäre die Umformung der Gleichung mit dem Limes:
\lim\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{4-\left( {2-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^2 }} {{8-\left( {2-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^3 }}} \right) = \frac{{4-\left( {2-\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^2 }} {{8-\left( {2-\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^3 }} = \frac{{4-\left( {2-0} \right)^2 }} {{8-\left( {2-0} \right)^3 }} = \frac{{4-4}} {{8-8}} = \frac{0} {0}

Leider ergibt sich hier als Lösung \frac{0}{0}, was im Allgemeinen nicht definiert ist. Wir brauchen also einen Hilfsschritt und überlegen uns, wie wir die 0 aus dem Nenner entfernen können.
Dazu müsste in der Ausgangsgleichung das {\left( {n+1} \right)^{-1} } aus dem Nenner verschwinden.
Dieses wird sogar noch hoch 3 genommen. D.h. wir erweitern den Bruch einfach mit:

\frac{{(n+1)^3 }} {{(n+1)^3 }}

(Zur Vereinfachung lasse ich im Folgenden \lim \limits_{n \to \infty } und \left( {...} \right)_n weg.)

Somit ergibt sich:

\frac{{4-\left( {2-\left( {n+1} \right)^{-1} } \right)^2 }} {{8-\left( {2-\left( {n+1} \right)^{-1} } \right)^3 }} = \frac{{\left[ {4-\left( {2-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^2 } \right]}} {{\left[ {8-\left( {2-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^3 } \right]}} \cdot \frac{{(n+1)^3 }} {{(n+1)^3 }}

Als nächstes wird {\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} ausgeklammert:

= \frac{{\left[ {4-\left( {\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right] \cdot \frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^2 } \right]}} {{\left[ {8-\left( {\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right] \cdot \frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)^3 } \right]}} \cdot \frac{{\left( {n+1} \right)^3 }} {{\left( {n+1} \right)^3 }}

Und nun \left[ {...} \right] \cdot \left( {...} \right) ausmultipliziert:

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right]^2 \cdot \frac{1} {{\left( {n+1} \right)^2 }} \cdot \left( {n+1} \right)^3 }} {{8\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right]^3 \cdot \frac{1} {{\left( {n+1} \right)^3 }} \cdot \left( {n+1} \right)^3 }}

Jetzt kann man kürzen:

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right]^2 \cdot \left( {n+1} \right)}} {{8\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right]^3 }}

In den nächsten Schritten wird nur noch ausmultipliziert und zusammengefasst:

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {4\left( {n+1} \right)^2 -4\left( {n+1} \right)+1} \right] \cdot \left( {n+1} \right)}} {{8\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {4\left( {n+1} \right)^2 -4\left( {n+1} \right)+1} \right]\left[ {2\left( {n+1} \right)-1} \right]}}

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {4\left( {n+1} \right)^3 -4\left( {n+1} \right)^2 +\left( {n+1} \right)} \right]}} {{8\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {8\left( {n+1} \right)^3 -8\left( {n+1} \right)^2 +2\left( {n+1} \right)-\left[ {4\left( {n+1} \right)^2 -4\left( {n+1} \right)+1} \right]} \right]}}

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^3 -4\left( {n+1} \right)^3 +4\left( {n+1} \right)^2 -\left( {n+1} \right)}} {{8\left( {n+1} \right)^3 -\left[ {8\left( {n+1} \right)^3 -8\left( {n+1} \right)^2 +2\left( {n+1} \right)-4\left( {n+1} \right)^2 +4\left( {n+1} \right)-1} \right]}}

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^2 -\left( {n+1} \right)}} {{8\left( {n+1} \right)^3 -8\left( {n+1} \right)^3 +8\left( {n+1} \right)^2 -2\left( {n+1} \right)+4\left( {n+1} \right)^2 -4\left( {n+1} \right)+1}}

= \frac{{4\left( {n+1} \right)^2 -\left( {n+1} \right)}} {{12\left( {n+1} \right)^2 -6\left( {n+1} \right)+1}}

Jetzt {\left( {n+1} \right)^2 } ausklammern:

= \frac{{\left( {n+1} \right)^2 \left( {4-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)}} {{\left( {n+1} \right)^2 \left( {12-\frac{6} {{\left( {n+1} \right)}}+\frac{1} {{\left( {n+1} \right)^2 }}} \right)}}

Nach dem Kürzen erhält man („lim“ verwende ich nun wieder):

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{\left( {4-\frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}} \right)}} {{\left( {12-\frac{6} {{\left( {n+1} \right)}}+\frac{1} {{\left( {n+1} \right)^2 }}} \right)}}} \right)

= \frac{{4-\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {n+1} \right)}}}} {{12-\lim \limits_{n \to \infty } \frac{6} {{\left( {n+1} \right)}}+\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\left( {n+1} \right)^2 }}}}

= \frac{{4-0}} {{12-0+0}} = \frac{4} {{12}} = \frac{1} {3}

Damit wären wir schon fertig. Wir haben gezeigt, dass die Folge einen Grenzwert hat (und somit konvergiert). Der Grenzwert der Folge ist \frac{1} {3}