16 – Dämpfung 11 – Arten der Anregung

 

Direkte Kraftanregung

Direkte Kraftanregung

Wir betrachten die Bewegung von x um die statische Ruhelage herum.

Für eine harmonische Erregerkraft gilt

F \left( t \right) = \hat F \cos \Omega t

Freigeschnittenes System:

Freigeschnittenes System der direkten Kraftanregung

Der Schwerpunktsatz liefert die DGL

ma = F

m \ddot x = -cx-r\dot x+\hat F\cos \Omega t

m \ddot x + r \dot x + c x = \hat F \cos \Omega t

Unwuchtanregung

Unwuchtanregung

Die kleine Masse m* rotiert in mathematisch positiver Richtung. Sie ist um die Exzentrizität e vom Schwerpunkt der großen Masse m verschoben.

Dabei wirkt die Zentripetalkraft:

F_x  = \underbrace {m*e\Omega ^2 }_{\hat F\left( \Omega  \right)}\cos \Omega t

Die Amplitude der anregenden Kraft ist hier nicht konstant, sondern hat einen “Frequenzgang”. Für den Schwingweg ergibt sich mit dieser frequenzabhängige Kraftamplitude

Masse m:

\ddot x \left( m+m* \right) =-r \dot x-c x+F_x

Nebenrechnung:

\frac{{\frac{{\hat F\left( \Omega  \right)}} {c}}} {{\frac{\Omega } {{\omega _1 }}}} = \frac{{m*e\Omega ^2 \omega _1 }} {{c\Omega }}\frac{{\left( {m+m*} \right)}} {{\left( {m+m*} \right)}} = \frac{{m*e}} {{\left( {m+m*} \right)}}\frac{\Omega } {{\omega _1 }}

Federkraftanregung

Federkraftanregung

Die Erregung erfolgt nicht direkt auf die Masse, sondern über eine zweite Feder, deren Federkonstante bekannt ist.

Freigeschnittenes System:

Schwerpunktsatz:

m \dot x =-r \dot x-c x+c* \left( u-x \right)

DGL:

m \ddot x+r \dot x+\left( c+c* \right) x = c* \hat u \cos \Omega t

Hier folgt die Eigenkreisfrequenz aus

\omega_1^2 = \frac{c+c*}{m}

Die Amplitude der Erregerkraft beträgt

\hat F = c* \hat u

und ist konstant.

Die eigentliche Federkonstante c wird durch das c* verfälscht, daher sollte dieses möglichst klein gehalten werden. Auch die anregende Kraft sollte gering sein.

Wir bringen die Bewegungsgleichung auf die Normalform:

m\ddot x+r\dot x+\left( {c+c*} \right)x = c*\hat u\cos \Omega t

\ddot x+\frac{r} {m}\dot x+\frac{{\left( {c+c*} \right)}} {m}x = \frac{{c*}} {m}\hat u\cos \Omega t

Fußpunktanregung

Der Punkt, an dem die Feder aufgehängt ist, wird bewegt:

Fußpunktanregung

Wir definieren, dass die Auslenkung des Fußpunktes geringer ist als die Auslenkung der Masse. (Ansonsten müssten wir im Folgenden ein paar Vorzeichen umdrehen)

Freigeschnittenes System:

Wir stellen den Schwerpunktsatz auf:

m \ddot x =-r \left( \dot x-\dot u \right)-c \left( x-u \right)

m \ddot x+r \dot x+c x = cu+r \dot u

Dies führt auf die Differentialgleichung der Bewegung:

m \ddot x+r \dot x+c x = \hat u \left( c \cos \Omega t-r \Omega \sin \Omega t \right)

Die Erregerkraft ist also harmonisch und hat zwei Komponenten:

\hat F = \hat u \left( c \cos \Omega t-r \Omega \sin \Omega t \right)

Sie hängt nach Betrag und Phase von der Erregerkreisfrequenz Ω ab.