.03.1 – Unwuchtanregung und Stablängsschwingung

 

Aufgabenstellung Unwuchtanregung Stablängsschwingung

An einem masselosen Stab (Längsfedersteifigkeit EA) ist eine Masse M befestigt, auf der eine kleine Masse m eine relative kreisförmige Bewegung ausführt. Der Relativausschlag der Masse m bezüglich M sei

x \left( t \right) = a \sin \left( \Omega t \right)

Man ermittle

  1. die Federkonstante des Stabes bei gegebener Länge L
  2. die Eigenkreisfrequenz ω1 des Systems
  3. die Länge L des Stabes so, dass Resonanz eintritt (Erregerfrequenz Ω)

Anmerkung: Eine Verschiebung von M senkrecht zur Stablängsrichtung und Verdrehungen sind durch die skizzierte, reibungsfreie Führung verhindert.

Lösung

Das System muss in drei Teilprobleme aufgeteilt werden

  • Ersatzfeder für den Stab
  • Art der Anregung
  • Skizze des Problems
  • Kinematik

Ersatzfeder:

Wie in diesem Artikel beschrieben ist die Federsteifigkeit eines longitudinal belasteten Stabes

c_L  = \frac{{EA}} {L}

Art der Anregung:

Es handelt sich bei diesem Problem um eine Unwuchtanregung.

Skizze:

Freigeschnittenes System

\vec r_m = \left( x_1+x \right) \vec e_x+\left(-a \cos \Omega t \right) \vec e_z = \left( x_1+a \sin \Omega t \right) \vec e_x-a \cos \Omega t \vec e_z

\ddot { \vec r } _m = \left( \ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right) \vec e_x+a \Omega^2 \cos \Omega t \vec e_z

Schwerpunktsatz und Drallsatz:

m \ddot { \vec r } _m =-G_x \vec e_x+G_z \vec e_z \quad \Rightarrow \quad m \left(\ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right) =-G_x

M \ddot x_1 = G_x-S =-m \left(\ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right)-S

Wir können nun die Aufgabenstellungen lösen.

a )

Differentialgleichung der Verschiebungsverteilung

EAu^{^{\prime\prime}} =-n \left( x \right) = 0

u^{\prime}  = \frac{{C_1 }} {{EA}} = \frac{S} {{EA}}

u = \frac{S} {{EA}}\xi +C_2

Randbedingungen:

u\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C_2  = 0

u\left( L \right) = \frac{{SL}} {{EA}} = x_1

\Rightarrow \quad \frac{S} {{x_1 }} = \frac{{EA}} {L}

Für eine Feder gilt

c = \frac{F} {x}

also in diesem Fall

c = \frac{S} {{x_1 }} = \frac{{EA}} {L}

b )

Um die Differentialgleichung der Bewegung aufzustellen, nutzen wir die oben erschlossene Gleichung

M\ddot x_1  = G_x -S = -m\left( {\ddot x_1 -a\Omega ^2 \sin \Omega t} \right)-S

und setzen

\frac{S} {{x_1 }} = \frac{{EA}} {L}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad S = \frac{{EA}} {L}x_1

ein:

\left( {M+m} \right)\ddot x_1 +\frac{{EA}} {L}x_1  = ma\Omega ^2 \sin \Omega t

Der Aufbau einer Schwingungs-DGL ist normalerweise

\ddot x_1 +\omega _1^2 x_1  = f_0 \sin \Omega t

Daher bringen wir auch die obere Gleichung auf diese Form:

\ddot x_1 +\frac{{EA}} {{L\left( {M+m} \right)}}x_1  = \frac{{ma\Omega ^2 }} {{M+m}}\sin \Omega t

Koeffizientenvergleich ergibt:

\omega _1  = \sqrt {\frac{{EA}} {{L\left( {M+m} \right)}}}

f_0  = \frac{{ma\Omega ^2 }} {{M+m}}

c )

Bei der kritischen Länge ist die Eigenkreisfrequenz gleich der Erregerkreisfrequenz, es gilt also

\Omega ^2  = \omega _1^2  = \frac{{EA}} {{L_K \left( {M+m} \right)}}

Nach L auflösen:

L_K  = \frac{{EA}} {{\Omega ^2 \left( {M+m} \right)}}