.03.1 – Unwuchtanregung und Stablängsschwingung

Aufgabenstellung Unwuchtanregung Stablängsschwingung

An einem masselosen Stab (Längsfedersteifigkeit EA) ist eine Masse M befestigt, auf der eine kleine Masse m eine relative kreisförmige Bewegung ausführt. Der Relativausschlag der Masse m bezüglich M sei

$<br /> x \left( t \right) = a \sin \left( \Omega t \right)<br />$

Man ermittle

die Federkonstante des Stabes bei gegebener Länge L
die Eigenkreisfrequenz ω₁ des Systems
die Länge L des Stabes so, dass Resonanz eintritt (Erregerfrequenz Ω)

Anmerkung: Eine Verschiebung von M senkrecht zur Stablängsrichtung und Verdrehungen sind durch die skizzierte, reibungsfreie Führung verhindert.

Lösung

Das System muss in drei Teilprobleme aufgeteilt werden

Ersatzfeder für den Stab
Art der Anregung
Skizze des Problems
Kinematik

Ersatzfeder:

Wie in diesem Artikel beschrieben ist die Federsteifigkeit eines longitudinal belasteten Stabes

$<br /> c_L = \frac{{EA}}<br /> {L}<br />$

Art der Anregung:

Es handelt sich bei diesem Problem um eine Unwuchtanregung.

Skizze:

Freigeschnittenes System

$<br /> \vec r_m = \left( x_1+x \right) \vec e_x+\left(-a \cos \Omega t \right) \vec e_z = \left( x_1+a \sin \Omega t \right) \vec e_x-a \cos \Omega t \vec e_z<br />$

$<br /> \ddot { \vec r } _m = \left( \ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right) \vec e_x+a \Omega^2 \cos \Omega t \vec e_z<br />$

Schwerpunktsatz und Drallsatz:

$<br /> m \ddot { \vec r } _m =-G_x \vec e_x+G_z \vec e_z \quad \Rightarrow \quad m \left(\ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right) =-G_x<br />$

$<br /> M \ddot x_1 = G_x-S =-m \left(\ddot x_1-a \Omega^2 \sin \Omega t \right)-S<br />$

Wir können nun die Aufgabenstellungen lösen.

a )

Differentialgleichung der Verschiebungsverteilung

$<br /> EAu^{^{\prime\prime}} =-n \left( x \right) = 0<br />$

$<br /> u^{\prime} = \frac{{C_1 }}<br /> {{EA}} = \frac{S}<br /> {{EA}}<br />$

$<br /> u = \frac{S}<br /> {{EA}}\xi +C_2<br />$

Randbedingungen:

$<br /> u\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C_2 = 0<br />$

$<br /> u\left( L \right) = \frac{{SL}}<br /> {{EA}} = x_1<br />$

$<br /> \Rightarrow \quad \frac{S}<br /> {{x_1 }} = \frac{{EA}}<br /> {L}<br />$

Für eine Feder gilt

$<br /> c = \frac{F}<br /> {x}<br />$

also in diesem Fall

$<br /> c = \frac{S}<br /> {{x_1 }} = \frac{{EA}}<br /> {L}<br />$

b )

Um die Differentialgleichung der Bewegung aufzustellen, nutzen wir die oben erschlossene Gleichung

$<br /> M\ddot x_1 = G_x -S = -m\left( {\ddot x_1 -a\Omega ^2 \sin \Omega t} \right)-S<br />$

und setzen

$<br /> \frac{S}<br /> {{x_1 }} = \frac{{EA}}<br /> {L}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad S = \frac{{EA}}<br /> {L}x_1<br />$

ein:

$<br /> \left( {M+m} \right)\ddot x_1 +\frac{{EA}}<br /> {L}x_1 = ma\Omega ^2 \sin \Omega t<br />$

Der Aufbau einer Schwingungs-DGL ist normalerweise

$<br /> \ddot x_1 +\omega _1^2 x_1 = f_0 \sin \Omega t<br />$

Daher bringen wir auch die obere Gleichung auf diese Form:

$<br /> \ddot x_1 +\frac{{EA}}<br /> {{L\left( {M+m} \right)}}x_1 = \frac{{ma\Omega ^2 }}<br /> {{M+m}}\sin \Omega t<br />$

Koeffizientenvergleich ergibt:

$<br /> \omega _1 = \sqrt {\frac{{EA}}<br /> {{L\left( {M+m} \right)}}}<br />$

$<br /> f_0 = \frac{{ma\Omega ^2 }}<br /> {{M+m}}<br />$

c )

Bei der kritischen Länge ist die Eigenkreisfrequenz gleich der Erregerkreisfrequenz, es gilt also

$<br /> \Omega ^2 = \omega _1^2 = \frac{{EA}}<br /> {{L_K \left( {M+m} \right)}}<br />$

Nach L auflösen:

$<br /> L_K = \frac{{EA}}<br /> {{\Omega ^2 \left( {M+m} \right)}}<br />$

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