V 2.1 – Sprungantwort

 

Wie reagiert ein Messgerät auf einen Sprung der Messgröße bei t = {t_0}.

Beispiel:

Tiefpass „Ersatzschaltbild“ eines elektrischen Messgeräts.

mess-v02-ersatzschaltbild-tiefpass

Maschengleichung: {U_e}\left( t \right) = {U_R}\left( t \right)+{U_a}\left( t \right)\quad \left( I \right)

Kontinuitätsgleichung: \Rightarrow Strom überall gleich, bis auf Kapazität

Bei Kapazität:

Q = C \cdot {U_a}\left( t \right)\quad \left( {II} \right)

\frac{{dQ}}{{dt}} = I\left( t \right) = C \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}

{U_R}\left( t \right) = I\left( t \right) \cdot R = \underbrace {R \cdot C}_\tau \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}

\quad = \tau \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}

eingesetzt in (I) ergibt sich die benötigte Differentialgleichung (DGL):

\boxed{{U_e}\left( t \right) = \tau \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}+{U_a}\left( t \right)}

Die Lösung dieser DGL besteht aus einem homogenen und inhomogenen Teil. Um den homogenen Teil zu erhalten müssen wir {U_e} gleich Null setzten. Wenn wir dies machen können wir die Lösung bestimmen.

Homogene Gleichung:

\tau \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}+{U_a} = 0

Wir verwenden den allgemeinen Ansatz:

{U_a}\left( t \right) = A \cdot {e^{\lambda t}}

\Rightarrow \quad \tau \cdot A \cdot \lambda \cdot {e^{\lambda t}}+A \cdot {e^{\lambda t}} = 0

\Rightarrow \quad \tau \cdot \lambda +1 = 0

\Rightarrow \quad \lambda = -\frac{1}{\tau }

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{U_a}\left( t \right) = A \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}}}

Dies ist die homogene Lösung der DGL.

Eine partikuläre Lösung der DGL erhält man für t \to \infty, denn dann fließt in den Kondensator kein Strom mehr, da er „vollständig“ geladen ist \left( {I \to 0} \right).

\Rightarrow \quad {U_R} = 0

\Rightarrow \quad {U_a} = {U_e} = const.

Damit lautet die allgemeine Lösung:

\underline{\underline {{U_a}\left( t \right) = {U_e}+A \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}}} \quad f\ddot ur\quad t \geq {t_0}

Jetzt kann man mit der Randbedingung noch A bestimmen zum Zeitpunkt t = {t_0} ist der Kondensator noch nicht geladen \left( {{U_c} = 0} \right)

mit {U_a} = {U_C}\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {{U_a} = 0}}

\Rightarrow \quad {U_a}\left( {{t_0}} \right) = {U_e}+A \cdot {e^{-\frac{{{t_0}}}{\tau }}} = 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {A = -{U_e} \cdot {e^{\frac{{{t_0}}}{\tau }}}}}

Damit können wir eine Gesamtlösung der DGL angeben:

{U_a}\left( t \right) = {U_e}-{U_e} \cdot {e^{\frac{{{t_0}}}{\tau }}} \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}} = {U_e}\left( {1-{e^{\frac{{{t_0}}}{\tau }-\frac{t}{\tau }}}} \right)

\Rightarrow \quad \boxed{{U_a}\left( t \right) = {U_e}\left( {1-{e^{\frac{{{t_0}-t}}{\tau }}}} \right)}

Diese Lösung sieht dann in der Praxis so aus:

mess-v02-sprungantwort-tiefpass

Die Übergangsfunktion / Sprungantwort für den Tiefpass lautet:

h\left( t \right) = \frac{{{U_a}\left( t \right)}}{{{U_e}}} = \frac{{{U_e}\left( {1-{e^{\frac{{{t_0}-t}}{\tau }}}} \right)}}{{{U_e}}} = 1-{e^{\frac{{t-{t_0}}}{\tau }}}

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}