V 2.2 – Sinus-Antwort (Frequenzgang)

 

Als Frequenzgang bezeichnet man den Zusammenhang zwischen sinusförmigen Schwingungen am Ein- und Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems / Übertragungsglieds:

{U_e}\left( t \right) = {U_e} \cdot {e^{i\omega t}}\quad \Rightarrow \quad {U_a}\left( t \right) = {U_a} \cdot {e^{i\left( {\omega t+\varphi } \right)}}

Durch einsetzen in die DGL des Tiefpasses erhält man folgende Differentialgleichung:

\tau \cdot \frac{{d{U_a}\left( t \right)}}{{dt}}+{U_a}\left( t \right) = {U_e}\left( t \right)

\Rightarrow \quad \tau \cdot i\omega \cdot {U_a} \cdot {e^{i\omega t}} \cdot {e^{i\varphi }}+{U_a} \cdot {e^{i\omega t}} \cdot {e^{i\varphi }} = {U_e} \cdot {e^{i\omega t}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{U_a} \cdot {e^{i\varphi }}\left( {1+i\omega \tau } \right) = {U_e}}}

Der Komplexe Frequenzgang ist definiert als:

\boxed{G\left( \omega \right) = \frac{{{U_a}{e^{i\varphi }}}}{{{U_e}}}}

\Rightarrow \quad G\left( \omega \right) = \frac{{{U_a} \cdot {e^{i\varphi }}}}{{{U_e}}} = \frac{{{U_a} \cdot {e^{i\varphi }}}}{{{U_a} \cdot {e^{i\varphi }}\left( {1+i\omega \tau } \right)}} = \frac{1}{{1+i\omega \tau }} = \frac{1}{{1+i\omega \tau }} \cdot \frac{{1-i\omega \tau }}{{1-i\omega \tau }} = \frac{{1-i\omega t}}{{1+{\omega ^2}{\tau ^2}}}

Der Amplitudengang ist definiert als:

\boxed{\left| {G\left( \omega \right)} \right| = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}+{{\operatorname{Im} }^2}} }

\Rightarrow \quad \left| {G\left( \omega \right)} \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{1+{\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right)}^2}+{{\left( {-i\frac{{\omega t}}{{1+{\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{1}{{{{\left( {1+{\omega ^2}{\tau ^2}} \right)}^2}}}+\frac{{{\omega ^2}{t^2}}}{{{{\left( {1+{\omega ^2}{\tau ^2}} \right)}^2}}}} = \frac{1}{{\sqrt {1+{\omega ^2}{\tau ^2}} }}

Für den Phasengang \varphi \left( \omega \right) gilt:

\boxed{\tan \left( {\varphi \left( \omega \right)} \right) = -\omega t}

mess-v02-phasengang
Bode – Diagramm
\log \left| {\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}}} \right| aufgetragen gegen \omega \left( {\log } \right)

mess-v02-bode-diagramm

für \omega \gg \frac{1}{\tau }\quad \Rightarrow \quad \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} \to 0

Für die Grenzfrequenz gilt:

{\omega _g} = \frac{1}{\tau }\quad \Rightarrow \quad \left| {G\left( \omega \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad {\left| {G\left( \omega \right)} \right|^2} = \frac{1}{2}

mess-v02-bode-diagramm-phasengang

Mit komplexen Widerständen

Für einen Ohm’schen Widerstand gilt:

\boxed{Z = \frac{U}{I} = R}

Für eine Kapazität gilt:

Q = C \cdot U\quad |\quad \frac{d}{{dt}}

\dot Q = I = C \cdot \frac{{dU}}{{dt}}

mit\quad U\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{i\left( {\omega t+\varphi } \right)}}

\qquad \frac{{dU\left( t \right)}}{{dt}} = {U_0} \cdot i\omega \cdot {e^{i\left( {\omega t+\varphi } \right)}} = i\omega \cdot U\left( t \right)

{Z_C} = \frac{U}{I} = \frac{{U\left( t \right)}}{{C \cdot \frac{{dU\left( t \right)}}{{dt}}}} = \frac{{U\left( t \right)}}{{C \cdot i\omega \cdot U\left( t \right)}}

\Rightarrow \quad \boxed{{Z_C} = \frac{1}{{i\omega C}}}

Für eine Induktivität gilt:

U = L \cdot \dot I = L \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad |\quad \int {dt}

\int {U\left( t \right)dt} = L \cdot I

\Rightarrow \quad \int {\frac{1}{{i\omega }}\frac{{dU\left( t \right)}}{{dt}}dt} = L \cdot I

\mathop \Rightarrow \limits_{U = {U_0} \cdot {e^{i\left( {\omega t+\varphi } \right)}}} \quad \frac{1}{{i\omega }} \cdot U\left( t \right) = L \cdot I

\Rightarrow \quad {Z_L} = \frac{U}{I} = \frac{{i\omega LI}}{I}

\Rightarrow \quad \boxed{{Z_L} = i\omega L}

Für Reihenschaltungen gilt:
\boxed{{Z_{ges}} = {Z_1}+{Z_2}}

Für Parallelschaltungen gilt:
\boxed{\frac{1}{{{Z_{ges}}}} = \frac{1}{{{Z_1}}}+\frac{1}{{{Z_2}}}}

Für den Tiefpass gilt somit:
\boxed{{Z_{ges}} = R+\frac{1}{{i\omega C}}}

Damit können wird den komplexen Frequenzgang auch wie folgt bestimmen:

G\left( \omega \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}} = \frac{{\frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{I_a}\left( \omega \right)}}}}{{\frac{{{U_e}\left( \omega \right)}}{{{I_a}\left( \omega \right)}}}} = \frac{{{Z_C}}}{{{Z_{ges}}}} = \frac{{\frac{1}{{i\omega C}}}}{{R+\frac{1}{{i\omega C}}}} = \frac{1}{{Ri\omega C+1}} = \frac{1}{{1+i\omega RC}} = \underline{\underline {\frac{1}{{1+i\omega \tau }}}}

für \omega \gg {\omega _g} = \frac{1}{\tau }\quad \Rightarrow \quad {U_a} \to 0

Dies liefert uns wie in Kapitel 2.1 folgende Differentialgleichung:

\tau \cdot \frac{{d{U_a}}}{{dt}} = {U_e}

\Rightarrow \quad \int {{{\dot U}_a}\left( t \right)} = \int {\frac{1}{\tau }{U_e}}

\qquad {U_a}\left( t \right) = \frac{1}{\tau } \cdot \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_e}\:dt}

dies gilt aber nur für kurze Zeitintervalle {t_2}-{t_1} \ll \tau.

Wir können mit solch einer Schaltung also auch analog oder besser gesagt elektrisch Integrieren und erhalten gleichzeitig eine Glättung des Signals.

mess-v02-glaettung-integrierer

\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}