V 2.3 – Impulsantwort

 

mess-v02-signal

Wie auf dem Diagramm erkennbar ist haben wir ein Signal mit der Spannung {U_0}, welches über die Zeit T andauert und anschließend wieder auf 0 abfällt. Dabei sei die Zeit T kurz. Wir diskutieren diesen Fall nun für den Tiefpass um auch eines der häufigsten Testsignale kennen zu lernen.

Für den Zeitraum: 0 < t < T gelten die Gleichungen aus Kapitel 2.1:

U_a^I = {U_0} \cdot \left( {1-{e^{-\frac{t}{\tau }}}} \right)\quad ,\quad \tau = R \cdot C

Für den Zeitraum t > T gilt:

{U_e} = 0\quad \Rightarrow \quad {U_a}\left( t \right) = B \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}

Zudem gilt für den Zeitpunkt T:

U_a^{II}\left( T \right) = U_a^I\left( T \right) \cdot {e^{-\frac{{\left( {t-T} \right)}}{\tau }}} = {U_0} \cdot \left( {1-{e^{-\frac{T}{\tau }}}} \right) \cdot {e^{-\frac{{\left( {t-T} \right)}}{\tau }}} = {U_0} \cdot \left( {1-{e^{-\frac{T}{\tau }}}} \right) \cdot {e^{\frac{{-t}}{\tau }}} \cdot {e^{\frac{T}{\tau }}} = {U_0} \cdot \left( {{e^{\frac{T}{\tau }}}-1} \right) \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}

Wir haben hier nichts anderes, als eine von Anfang an abnehmende Funktion erstellt, die aber erst zum Zeitpunkt T sichtbar wird.

Wir nehmen nun die rechteckige Fläche, die von {U_0}, 0 und T aufgespannt wird und stellen die Bedingung, dass diese Fläche, die wir von nun an mit A bezeichnen, konstant bleiben soll:

A = {U_0} \cdot T

Wir lassen nun die Zeit gegen Null gehen:

T \to 0

A = const.

mess-v02-grenzuebergang

Als Grenzübergang für T \to 0 aber A = const. erhalten wir den so genannten δ-Puls. Dieser ist wie folgt definiert:

\delta \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\infty \quad f\ddot ur\quad t = 0} \\{0\quad f\ddot ur\quad t \ne 0} \\   \end{array} } \right.

Die \delta \left( t \right)-Funktion wird auch Delta-Distribution genannt. Obwohl die Zeit gegen Null geht kann man die Delta-Distribution integrieren. Dabei gilt:

\int_{-\infty }^\infty {\delta \left( t \right)dt} = 1

Dies können wir für unsere Zwecke nutzten:

\boxed{U\left( t \right) = A \cdot \delta \left( t \right)} \\   \Rightarrow \quad \int {U\left( t \right)dt = A \cdot \underbrace {\int {\delta \left( t \right)dt} }_1 = A} \\

In der Realität kann man natürlich keine Funktion finden, die der \delta-Funktion gleicht, aber man kann diese sehr gut annähern.

A = {U_0} \cdot T\quad \Rightarrow \quad {U_0} = \frac{A}{T}

Eingesetzt in die Gleichung für U_a^{II} ergibt sich somit:

{U_a}\left( t \right) = \frac{A}{T} \cdot \left( {{e^{\frac{T}{\tau }}}-1} \right) \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}

Mithilfe des Satzes von l’hospital bilden wir nun den Grenzwert:

\mathop {\lim }\limits_{T \to 0} {U_a}\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{T \to 0} A \cdot \frac{{\frac{1}{\tau } \cdot {e^{\frac{T}{\tau }}}}}{1} \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}} = \underline{\underline {\frac{A}{\tau } \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}}}

mess-v02-impulsantwort

Wir stellen auch noch die Gewichtsfunktion für den Tiefpass auf:

\boxed{g\left( t \right) = \frac{{{U_a}\left( t \right)}}{A}\quad \mathop = \limits^{Tiefpass} \quad \frac{1}{\tau } \cdot {e^{-\frac{t}{\tau }}}}

Beziehung zwischen den Antwortfunktionen

Die Beziehungen zwischen den einzelnen Antwortfunktionen lauten:

\boxed{g\left( t \right) = \frac{{dh\left( t \right)}}{{dt}}}

\underline{\underline {h\left( t \right) = \frac{{U_a^I}}{{{U_e}}} = \frac{{U_a^I}}{{{U_o}}} = 1-{e^{-\frac{t}{\tau }}}}}

\underline{\underline {\frac{{dh\left( t \right)}}{{dt}} = \frac{1}{\tau }{e^{-\frac{t}{\tau }}} = g\left( t \right)}} \\

Mit diesem Wissen kann man auch eine Spektralanalyse durchführen, wenn man die Spannung in eine Funktion der Winkelgeschwindigkeit umwandelt. Dasselbe macht der Mensch mit seinen Augen. Er führt eine Spektralanalyse durch und ordnet den einzelnen Frequenzen dann Farben zu.

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