v04 – Herleitung Wellengleichung

 

Die Wellengleichung könnte man an unterschiedlichen Objekten studieren, wie z.B. schwingende Körper(Saiten, Platten, Stäbe, …). Wir wollen hier die Longitudinale Bewegung eines elastischen Stabes betrachten.
Da der Stab sehr lang im Vergleich zum Durchmesser ist, beschränken wir uns auf die eindimensionale Betrachtung des Schwingungsproblems.

Einheiten:

L = \left[ m \right] ist die Länge des Stabes

A = \left[ {{m^2}} \right] ist die konstante Querschnittsfläche des Stabes

\rho  = \left[ {\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right] ist die Dichte des verwendeten Materials

u\left( {x,t} \right) = \left[ m \right] ist die Verschiebung eines Querschnittelements, das ursprünglich an der Position x war, zur Zeit t (also die Auslenkung aus dem Ruhezustand)

\varepsilon  = \frac{{\partial u}} {{\partial x}} = \left[ 1 \right] ist die Dehnung des Stabes: \frac{{\Delta l}} {{{l_0}}}

E ist der Elastizitätsmodul

\sigma  = \varepsilon E = \left[ {\frac{N} {{{m^2}}}} \right] ist die Spannung nach dem Hookeschen Gesetz

\rho \frac{{\partial u}} {{\partial t}} = \left[ {\frac{{kg}} {{{m^2}s}}} \right] ist die Impulsdichte

Die Newtonsche Bewegungsgleichung (das Kräftegleichgewicht) in einem beliebigen Intervall \left[ {a,b} \right] \in \left[ {0,L} \right]

\frac{d} {{dt}}\underbrace {\int_a^b {\rho A\frac{{\partial u}} {{\partial t}}dx} }_{Gesamtimpuls} = \left[ {\sigma \left( b \right)-\sigma \left( a \right)} \right]A = \int_a^b {\frac{{\partial \sigma }} {{\partial x}}Adx}

Da das Intervall nich von der Zeit abhängt, können wir das Zeitintegral nach innen tauschen. Es gilt folglich

\frac{\partial } {{\partial t}}\left( {\rho A\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right) = \frac{{\partial \sigma }} {{\partial x}}A

\rho \frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {t^2}}} = \frac{{\partial \sigma }} {{\partial x}} = \frac{\partial } {{\partial x}}\left( {E\frac{{\partial u}} {{\partial x}}} \right)

Ist der Elastizitätsmodul nicht vom Ort abhängig, dann gilt

\frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {t^2}}}-{a^2}\frac{{{\partial ^2}u}} {{\partial {x^2}}} = 0 mit {a^2} = \frac{E} {\rho }

Zur vollständigen Beschreibung benötigt man zwei Anfangsbedingungen. Üblicherweise sind die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit bekannt.

Anfangsauslenkung: u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)

Anfangsgeschwindigkeit: {u_t}\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right)

Außerdem benötigt man noch an jedem Rand eine Randbedingung. Möglichkeiten sind:

u\left( {0,t} \right) = 0 (feste Einspannung)

oder

{u_x}\left( {0,t} \right) = 0