v1.5 – Implizite Einschrittverfahren

 

Ein r-stufiges Einschrittverfahren ist ein Verfahren der Form

{u_{k+1}} = {u_k}+\tau \Phi \left( {{t_k},{u_k},\tau ,f} \right)

\Phi \left( {{t_k},{u_k},\tau ,f} \right) = \sum\limits_{i = 1}^r {{\beta _i}{f_{i,k}}}

1.5.1 Explizit, semi-implizit und implizit

Man unterscheidet explizite, semi-implizite und implizite Verfahren.

Explizites Verfahren:

{f_{i,k}} = f\left( {{t_k}+{\gamma _i}\tau ,\:\:{u_k}+\tau \sum\limits_{s = 1}^{i-1} {{\beta _{i,s}}{f_{s,k}}} } \right)\quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _2}} &\vline & {{\beta _{2,1}}} & {} & {} & {} & {} \\{{\gamma _3}} &\vline & {{\beta _{3,1}}} & {{\beta _{3,2}}} & {} & {} & {} \\  \vdots &\vline & \vdots & \vdots & \ddots & {} & {} \\{{\gamma _r}} &\vline & {{\beta _{r,1}}} & {{\beta _{r,2}}} & \ldots & {{\beta _{r,r-1}}} & {} \\ \hline{} &\vline & {{\beta _1}} & {{\beta _2}} & \ldots & {{\beta _{r-1}}} & {{\beta _r}} \\   \end{array}

Semi-implizite Verfahren:

{f_{i,k}} = f\left( {{t_k}+{\gamma _i}\tau ,\:\:{u_k}+\tau \sum\limits_{s = 1}^i {{\beta _{i,s}}{f_{s,k}}} } \right)\quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _1}} &\vline & {{\beta _{1,1}}} & {} & {} & {} \\{{\gamma _2}} &\vline & {{\beta _{2,1}}} & {{\beta _{2,2}}} & {} & {} \\  \vdots &\vline & \vdots & \vdots & \ddots & {} \\{{\gamma _r}} &\vline & {{\beta _{r,1}}} & {{\beta _{r,2}}} & \ldots & {{\beta _{r,r}}} \\ \hline{} &\vline & {{\beta _1}} & {{\beta _2}} & \ldots & {{\beta _r}} \\   \end{array}

Implizites Verfahren:

{f_{i,k}} = f\left( {{t_k}+{\gamma _i}\tau ,\:\:{u_k}+\tau \sum\limits_{s = 1}^r {{\beta _{i,s}}{f_{s,k}}} } \right)\quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{\gamma _1}} &\vline & {{\beta _{1,1}}} & \ldots & {{\beta _{1,r}}} \\  \vdots &\vline & \vdots & \ddots & \vdots \\{{\gamma _r}} &\vline & {{\beta _{r,1}}} & \ldots & {{\beta _{r,r}}} \\ \hline{} &\vline & {{\beta _1}} & \ldots & {{\beta _r}} \\   \end{array}

Bei expliziten Verfahren können die Werte für {f_{i,k}} nacheinander berechnet werden. Es werden dabei nur Funktionsauswertungen benötigt.
Bei semi-impliziten Verfahren muss für das jeweilige {f_{i,k}} eine nichtlineare Gleichung gelöst werden. Die einzelnen {f_{i,k}} können aber weiterhin nacheinander berechnet werden.
Bei impliziten Verfahren muss ein Gleichungssystem gelöst werden, da die {f_{i,k}} nicht aufeinander aufbauen. Es müssen alle {f_{i,k}} gleichzeitig berechnet werden.

1.5.2 Gauß-Form, Radau-Form, Lobatto-Form

Bei den impliziten Runge-Kutta-Formeln sind drei Formeltypen von besonderem Interesse: Bei der Gauß-Form sind alle Parameter beliebig wählbar, bei der Radau-Form ist entweder {\gamma _1} = 0 oder {\gamma _r} = 1, und bei der Lobatto-Form sind {\gamma _1} = 0 und {\gamma _r} = 1.
Die Namen der drei Typen leiten sich aus dem Umstand her, dass sie im Spezialfall f\left( {t,y} \right) = f\left( t \right) in die gleichnamigen Integrationsformeln für y\left( t \right) = \int_0^t {f\left( \tau \right)d\tau } übergehen. Die Radau-Form hat den Vorteil, dass entweder {f_{1,k}} oder {f_{r,k}} explizit berechnet werden kann. Bei der Lobatto-Form können sogar {f_{1,k}} und {f_{r,k}} explizit berechnet werden, wodurch die Anzahl der in jedem Schritt zu lösenden impliziten Gleichungen weiter verringert wird. Dafür muss man eine geringere Konsistenzordnung bei gleicher Stufenzahl in Kauf nehmen.

1.5.3 Beispiele für implizite Verfahren

Mit

\begin{array}{*{20}{c}}  1 &\vline & 1 \\ \hline{} &\vline & 1 \\   \end{array} \quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{u_{k+1}} = {u_k}+\tau {f_{1,k}}} \\{{f_{1,k}} = f\left( {{t_k}+\tau ,\:\:{u_k}+\tau {f_{1,k}}} \right) = f\left( {{t_{k+1}},{u_{k+1}}} \right)} \\   \end{array}

erhält man das implizite Eulerverfahren.

Durch die größere Zahl von Koeffizienten ist es möglich, ein einstufiges implizites Verfahren mit Konsistenzordnung 2 zu konstruieren:

\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}} &\vline & {\frac{1}{2}} \\ \hline{} &\vline & 1 \\   \end{array} \quad \quad \begin{array}{*{20}{c}}{{u_{k+1}} = {u_k}+\tau {f_{1,k}}} \\{{f_{1,k}} = f\left( {{t_k}+\frac{\tau }{2},\:\:{u_k}+\frac{\tau }{2}{f_{1,k}}} \right)} \\   \end{array}

Zur Berechnung von {f_{1,k}} ist die Lösung einer im Allgemeinen nichtlinearen Gleichung nötig. Dafür kann man ein einfaches iteratives Verfahren benutzen. Oft sind wenige Iterationsschritte ausreichend.

Den Bereich der A-Stabilität berechnet man wie folgt:

f\left( {t,y} \right) = \lambda y

\quad \Rightarrow \quad {f_{1,k}} = \lambda \left( {{u_k}+\frac{\tau }{2}{f_{1,k}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {f_{1,k}}\left( {1-\frac{{\lambda \tau }}{2}} \right) = \lambda {u_k}

\quad \Rightarrow \quad {f_{1,k}} = \lambda {\left( {1-\frac{{\lambda \tau }}{2}} \right)^{-1}}{u_k}

\quad \Rightarrow \quad {u_{k+1}} = {u_k}\underbrace {\left[ {1+\lambda \tau {{\left( {1-\frac{{\lambda \tau }}{2}} \right)}^{-1}}} \right]}_{ = :R\left( {\lambda \tau } \right)}

Damit erhält man

R\left( z \right) = 1+\frac{z}{{1-\frac{z}{2}}} = \frac{{1+\frac{z}{2}}}{{1-\frac{z}{2}}}

\left| {R\left( z \right)} \right| < 1 gilt genau dann, wenn

\left| {1+\frac{z}{2}} \right| < \left| {1-\frac{z}{2}} \right|

\quad \Rightarrow \quad \left| {1+\frac{{x+iy}}{2}} \right| < \left| {1-\frac{{x+iy}}{2}} \right|

\quad \Rightarrow \quad \left| {1+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}} \right| < \left| {1-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}} \right|

\quad \Rightarrow \quad {\left( {1+\frac{x}{2}} \right)^2}+{\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} < {\left( {1-\frac{x}{2}} \right)^2}+{\left( {-\frac{y}{2}} \right)^2}

\quad \Rightarrow \quad 1+\frac{x}{2} < 1-\frac{x}{2}

\quad \Rightarrow \quad x < -x

\quad \Rightarrow \quad x < 0

Das heißt, \left| {R\left( z \right)} \right| < 1 gilt für alle z mit \operatorname{Re} \left\{ z \right\} < 0. Das Verfahren ist daher unbedingt absolut stabil.

Das zweistufige Verfahren 3. Ordnung

\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt 3 }}{6}} &\vline & {\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt 3 }}{6}} & {} \\{\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt 3 }}{6}} &\vline & {-\frac{{\sqrt 3 }}{3}} & {\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt 3 }}{6}} \\ \hline{} &\vline & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \\   \end{array}

ist ebenfalls unbedingt absolut stabil.

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