v1.7 – Prädiktor-Korrektor-Verfahren

 

1.7.1 Definition

Gegeben sei ein explizites Mehrschrittverfahren (Prädiktor)

{u_{k+1}} = -\sum\limits_{i = 0}^{{r^*}-1} {\alpha _{{r^*}-1-i}^*{u_{k-i}}} +\tau \sum\limits_{i = 0}^{{r^*}-1} {\beta _{{r^*}-1-i}^*f\left( {{t_{k-i}},{u_{k-i}}} \right)}

und ein implizites Mehrschrittverfahren (Korrektor)

{u_{k+1}} = -\sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}{u_{k-i}}} +\tau \sum\limits_{i = -1}^{r-1} {{\beta _{r-1-i}}f\left( {{t_{k-i}},{u_{k-i}}} \right)}

Wir kombinieren daraus ein Prädiktor-Korrektor-Verfahren:

  • u_{k+1}^{\left( 0 \right)} = -\sum\limits_{i = 0}^{{r^*}-1} {\alpha _{{r^*}-1-i}^*{u_{k-i}}} +\tau \sum\limits_{i = 0}^{{r^*}-1} {\beta _{{r^*}-1-i}^*f\left( {{t_{k-i}},{u_{k-i}}} \right)}
  • iteriere für m = 0,1, \ldots {m_0}-1
    u_{k+1}^{\left( {m+1} \right)} = -\sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\alpha _{r-1-i}}{u_{k-i}}} +\tau \sum\limits_{i = 0}^{r-1} {{\beta _{r-1-i}}f\left( {{t_{k-i}},{u_{k-i}}} \right)} +\tau {\beta _r}f\left( {{t_{k+1}},u_{k+1}^{\left( m \right)}} \right)
  • {u_{k+1}} = u_{k+1}^{\left( {{m_0}} \right)}

Das explizite Verfahren dient nur dazu, einen guten Startwert für das implizite Verfahren zu finden. Man spart sich damit die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems (z.B. mit Newton). Wegen des folgenden Satzes weiß man genau, wie weit man beim Korrektor iterieren muss:

Sei f hinreichend oft differenzierbar und genüge einer Lipschitzbedingung bezüglich y. Das Prädiktor-Verfahren habe die Ordnung {p^*}, das Korrektor-Verfahren die Ordnung p. Dann ist die Ordnung des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens

\min \left\{ {p,{p^*},{m_0}} \right\}

Ein zusätzlicher Korrektorschritt ({m_0} = p-{p^*}+1) verbessert die Fehlerkonstante.

1.7.2 Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren

Wählt man als Prädiktor das Adams-Bashforth-3-Schrittverfahren

u_{k+1}^{\left( 0 \right)} = {u_k}+\frac{\tau }{{12}}\left[ {23f\left( {{t_k},{u_k}} \right)-16f\left( {{t_{k-1}},{u_{k-1}}} \right)+5f\left( {{t_{k-2}},{u_{k-2}}} \right)} \right]

und als Korrektor einen Schritt des Adams-Moulton-3-Schrittverfahrens, erhält man ein Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren der Ordnung 4:

{u_{k+1}} = {u_k}+\frac{\tau }{{24}}\left[ {9f\left( {{t_{k+1}},u_{k+1}^{\left( 0 \right)}} \right)+19f\left( {{t_k},{u_k}} \right)-5f\left( {{t_{k-1}},{u_{k-1}}} \right)+f\left( {{t_{k-2}},{u_{k-2}}} \right)} \right]

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