v2.2 – Rand-Eigenwertaufgaben

 

Wir suchen die Auslenkung u\left( {x,t} \right) bei einer schwingenden Saite:

num-202-schwingende-saite-anfangsrandwertaufgabe

Sie wird beschrieben durch die Anfangs-Randwertaufgabe (ARWA)

Differentialgleichung:\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}-{a^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = 0

Anfangsauslenkung:u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)

Anfangsgeschwindigkeit:{u_t}\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right)

Randbedingung:u\left( {0,t} \right) = u\left( {1,t} \right) = 0

Zur Lösung wählen wir den Separationsansatz

u\left( {x,t} \right) = u\left( x \right)u\left( t \right) = u\left( x \right){e^{i\omega t}}

wobei u\left( x \right) die Amplitude und \omega = \frac{{2\pi }}{T} die Kreisfrequenz zur Periodendauer T beschreibt. Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:

u\left( x \right){\left( {i\omega } \right)^2}{e^{i\omega t}}-{a^2}{u^{\prime \prime }}\left( x \right){e^{i\omega t}} = 0

was mit {\omega ^2} = \lambda zur Rand-Eigenwertaufgabe

-{a^2}{u^{\prime \prime }}\left( x \right) = \lambda u\left( x \right)

u\left( 0 \right) = u\left( 1 \right) = 0

führt. Die Problemstellung lautet also: Finde Zahlen \lambda \in \mathbb{C} und Funktionen u\left( x \right) \ne 0, so dass die Rand-Eigenwertaufgabe gelöst wird.

Dieses Problem wollen wir nun diskretisieren:

-{a^2}\frac{{{u_{j+1}}-2{u_j}+{u_{j-1}}}}{{{h^2}}} = {\lambda _h}{u_j},\quad \quad j = 1, \ldots ,N-1,\quad \quad {u_0} = {u_N} = 0

Dies führt zu dem Gleichungssystem:

{a^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {} & {} & {} & {} \\{-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {} & {} & {} \\{} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {} & {} \\{} & {} & \ddots & \ddots & \ddots & {} \\{} & {} & {} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} \\{} & {} & {} & {} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\{{u_2}} \\{{u_3}} \\  \vdots \\{{u_{N-2}}} \\{{u_{N-1}}} \\   \end{array} } \right) = \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\{{u_2}} \\{{u_3}} \\  \vdots \\{{u_{N-2}}} \\{{u_{N-1}}} \\   \end{array} } \right)

Die Zahl \lambda heißt Eigenwert der Matrix A, wenn ein Vektor \vec u \ne 0 existiert, so dass A\vec u = \lambda \vec u gilt. Der Vektor \vec u heißt dann Eigenvektor. Wir haben ein Matrizen-Eigenwertproblem erhalten.

Vergleich mit dem Gleichungssystem des Randwert-Problems -{u^{\prime \prime }} = f,\quad {u_0} = {g_0},\quad {u_N} = {g_1}:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  1 & {} & {} & {} & {} & {} \\{-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {} & {} & {} \\{} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {} & {} \\{} & {} & \ddots & \ddots & \ddots & {} \\{} & {} & {} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} & {\frac{2}{{{h^2}}}} & {-\frac{1}{{{h^2}}}} \\{} & {} & {} & {} & {} & 1 \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_0}} \\{{u_1}} \\{{u_2}} \\  \vdots \\{{u_{N-1}}} \\{{u_N}} \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{g_0}} \\{{f_1}} \\{{f_2}} \\  \vdots \\{{f_{N-1}}} \\{{g_1}} \\   \end{array} } \right)

Hier konnten wir mit den in Numerik I behandelten Verfahren das Gleichungssystem lösen und haben als Lösung den Vektor \vec u erhalten. Das obere Gleichungssystem können wir nicht einfach lösen, da es unterschiedliche Lösungen gibt und ein Lösungsalgorithmus nur die triviale Lösung \vec u = 0 finden würde. Stattdessen müssen wir die Eigenwerte der Matrix finden und erhalten dann die Lösungsvektoren \vec u als Eigenvektoren.

Die Näherungen der ersten drei Eigenfunktionen des Beispielproblems sind in folgendem Diagramm dargestellt:

num-202-schwingende-saite-eigenfunktionen

Höhere Eigenfunktionen werden schlechter Approximiert!

Die Größe des Eigenwerts beeinflusst den Approximationsfehler wie folgt:

\left| {{\lambda _k}-{\lambda _{k,h}}} \right| \leq C{h^2}\left| {u_k^{\left( 4 \right)}} \right|

-{a^2}u_k^{\prime \prime } = {\lambda _k}{u_k}\quad \Rightarrow \quad -{a^2}u_k^{\left( 4 \right)} = {\lambda _k}u_k^{\prime \prime } = -{\lambda _k}\frac{{{\lambda _k}{u_k}}}{{{a^2}}}\quad \Rightarrow \quad u_k^{\left( 4 \right)} = \lambda _k^2\frac{{{u_k}}}{{{a^4}}}

\quad \Rightarrow \quad \left| {{\lambda _k}-{\lambda _{k,h}}} \right| \leq C{h^2}\left| {\lambda _k^2\frac{{{u_k}}}{{{a^4}}}} \right|

Die Größe des Eigenwerts geht also quadratisch in den Approximationsfehler ein.