v2.4 – Finite-Volumen-Methode, Box-Schema

 

Finite-Volumen-Verfahren sind den Differenzenverfahren überlegen bei Aufgaben mit nichtkonstanten Koeffizienten wie

-\nabla \cdot \left( {k\nabla u} \right) = f\quad in\:\:\:\Omega ,\quad u = 0\quad auf\:\:\Gamma \quad \quad \left( {11} \right)

2.4.1 Grundidee

Sei zunächst der Einfachheit halber \Omega = {\left( {0,1} \right)^2}. Wir definieren

  • die Knoten {\underline a_{i,j}} = \left( {ih,jh} \right),\:\:\:i,j = 0, \ldots ,N,\:\:h = 1/N,
  • eine Primärzerlegung von \Omega, z.B. in Rechtecke

    {T_{i,j}} = \left( {ih,\left( {i+1} \right)h} \right) \times \left( {jh,\left( {j+1} \right)h} \right),\quad i,j = 0, \ldots ,N-1

  • eine Sekundärzerlegung

    {D_{i,j}} = \left\{ {\underline x  = \left( {x,y} \right):\left| {\underline x  - {{\underline a }_{i,j}}} \right| < \left| {\underline x  - {{\underline a }_{l,m}}} \right|\forall \left( {l,m} \right) \ne \left( {i,j} \right)} \right\}

    Bei obigem Beispiel ergeben sich auch hier Rechtecke:

    num-204-finite-volumen-methode-box-schema

Wir integrieren nun die Differentialgleichung \left( {11} \right) über {D_{i,j}} und wenden den Satz von Gauß an:

\int\limits_{{D_{i,j}}} f = -\int\limits_{{D_{i,j}}} {\nabla \cdot \left( {k\nabla u} \right)} \mathop = \limits^{Gauss} -\int\limits_{\partial {D_{i,j}}} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \quad \quad \quad \left( {12} \right)

Zur Diskretisierung approximieren wir die Integrale durch Integrationsformeln, zum Beispiel die Mittelpunktregel:

\int\limits_{{D_{i,j}}} f  \approx f\left( {{{\underline a }_{i,j}}} \right) \cdot {h^2}

\int\limits_{blau\:\:\left( {unten} \right)} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \approx h \cdot k\left( {ih,\left( {j-\frac{1}{2}} \right)h} \right) \cdot \frac{{{u_{i,j-1}}-{u_{i,j}}}}{h}

Das Vorzeichen im Bruch entsteht durch die Ausrichtung des Normalenvektors (nach unten auf der blauen Kante). Für die anderen drei Kanten ergibt sich:

\int\limits_{rechts} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \approx h \cdot k\left( {\left( {i+\frac{1}{2}} \right)h,jh} \right) \cdot \frac{{{u_{i+1,j}}-{u_{i,j}}}}{h}

\int\limits_{links} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \approx h \cdot k\left( {\left( {i-\frac{1}{2}} \right)h,jh} \right) \cdot \frac{{{u_{i1,j}}-{u_{i,j}}}}{h}

\int\limits_{oben} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \approx h \cdot k\left( {ih,\left( {j+\frac{1}{2}} \right)h} \right) \cdot \frac{{{u_{i,j+1}}-{u_{i,j}}}}{h}

Diese Gleichungen fassen wir zusammen:

\int\limits_{\partial {D_{i,j}}} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \approx \sum\limits_{Kanten} {\int\limits_{Kante} {k\frac{{\partial u}}{{\partial n}}} }

Für k = const ist das im Beispiel entstehende lineare Gleichungssystem gleich dem des Differenzenverfahrens.
Viele Erhaltungssätze entstehen bei ihrer Herleitung in der Form \left( {12} \right). Der Vorteil dieser Form gegenüber einer Differentialgleichung ist, dass die Koeffizientenfunktion k nicht differenzierbar sein muss. Diese Integralformulierung ist also allgemeiner.

2.4.2 Vorteile des Finite-Volumen-Verfahrens

  1. Wenn \left( {12} \right) eine Erhaltungsgleichung beschreibt, dann ist diese näherungsweise im Diskreten erfüllt. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Konservativität.
  2. Das Vorgehen ist in natürlicher Weise auf allgemeine Netze verallgemeinerbar:

    num-204-vorteil-finite-volumen-verfahren

2.4.3 Konservativität im Diskreten

Wir betrachten die Randwertaufgabe

-{\left( {k{u^\prime }} \right)^\prime } = 0\quad in\:\:\:\Omega = \left( {0,1} \right),\quad u\left( 0 \right) = 1,\quad u\left( 1 \right) = 0

mit variablem Koeffizienten

k\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10} & {x \leq \xi } \\  1 & {x > \xi } \\   \end{array} } \right.,\quad \quad \xi = \frac{1}{{\sqrt 2 }}

und wählen zur Diskretisierung ein äquidistantes Gitter mit der Schrittweite h = 1/n. Wir vergleichen ein naives Differenzenverfahren zur Approximation der Gleichung mit dem Differentialoperator -{\left( {k{u^\prime }} \right)^\prime } = -{k^\prime }{u^\prime }-k{u^{\prime \prime }}

-\frac{{{k_{i+1}}-{k_{i-1}}}}{{2h}}\frac{{{u_{i+1}}-{u_{i-1}}}}{{2h}}-{k_i}\frac{{{u_{i+1}}-2{u_i}+{u_{i-1}}}}{{{h^2}}} = 0

mit dem Box-Schema, das man mit Hilfe von

-\int_{{x_{i-0,5}}}^{{x_{i+0,5}}} {{{\left( {k{u^\prime }} \right)}^\prime }} = \left( {k{u^\prime }} \right)\left( {{x_{i-0,5}}} \right)-\left( {k{u^\prime }} \right)\left( {{x_{i+0,5}}} \right)

in der Form

0 = {k_{i-0,5}}\frac{{{u_i}-{u_{i-1}}}}{h}-{k_{i+0,5}}\frac{{{u_{i+1}}-{u_i}}}{h}

angeben kann. Für h \to 0 erhalten wir die beiden Lösungen:

num-204-unphysikalischer-warmeberg-maximumprinzip

Die naive Lösung (rot) produziert einen nicht-physikalischen Wärmeberg. Mathematisch formuliert bedeutet das, dass das Maximumprinzip verletzt worden ist.

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