v4.2 – Galerkin-Verfahren

 

Der Raum {V_0} ist unendlichdimensional, d.h. man kann keine endliche Basis angeben.

4.2.1 Idee des Galerkin-Verfahrens

Das Galerkin-Prinzip besagt: Ersetze den unendlichdimensionalen Raum {V_0} durch einen endlichdimensionalen Raum {V_{0h}} \subset {V_0} und löse die Variationsaufgabe in {V_{0h}}:

Finde {u_h} \in {V_{0h}}, so dass a\left( {{u_h},{v_h}} \right) = \left\langle {f,{v_h}} \right\rangle \quad \forall {v_h} \in {V_{0h}}\quad \quad \quad \quad \left( {12} \right)

Wählt man als Raum {V_{0h}} einen Raum, der aus stückweise polynomialen Funktionen besteht, spricht man von der Finite-Elemente-Methode (FEM).

4.2.2 Galerkin-Verfahren als lineares Gleichungssystem

Sei \left\{ {{\varphi _i}} \right\}_{i = 1}^N eine Basis von {V_{0h}}, dann ist \left( {12} \right) äquivalent zu

Finde {u_h} \in {V_{0h}}, so dass a\left( {{u_h},{\varphi _i}} \right) = \left\langle {f,{\varphi _i}} \right\rangle \quad \forall i = 1, \ldots ,N\quad \quad \quad \quad \left( {13} \right)

Dies resultiert aus {v_h} = \sum\limits_i {{v_i}{\varphi _i}} und der Linearität der Bilinearform.

Sei

{u_h} = \sum\limits_{j = 1}^N {{u_j}{\varphi _j}}

dann ist

a\left( {{u_h},{\varphi _i}} \right) = \sum\limits_{j = 1}^N {{u_j}a\left( {{\varphi _j},{\varphi _i}} \right)}

und \left( {13} \right) ist äquivalent zum linearen Gleichungssystem

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {{\varphi _1},{\varphi _1}} \right)} & {a\left( {{\varphi _2},{\varphi _1}} \right)} & \ldots & {a\left( {{\varphi _N},{\varphi _1}} \right)} \\{a\left( {{\varphi _1},{\varphi _2}} \right)} & {a\left( {{\varphi _2},{\varphi _2}} \right)} & \ldots & {a\left( {{\varphi _N},{\varphi _2}} \right)} \\  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{a\left( {{\varphi _1},{\varphi _N}} \right)} & {a\left( {{\varphi _2},{\varphi _N}} \right)} & \ldots & {a\left( {{\varphi _N},{\varphi _N}} \right)} \\  \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\{{u_2}} \\  \vdots \\{{u_N}} \\  \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {f,{\varphi _1}} \right)} \\{\left( {f,{\varphi _2}} \right)} \\  \vdots \\{\left( {f,{\varphi _N}} \right)} \\  \end{array} } \right)\quad \quad \quad \quad \left( {14} \right)

Offenbar sind zum Aufstellen der Matrix und der rechten Seite folgende Integrale zu berechnen:

\int\limits_\Omega {\nabla {\varphi _j} \cdot \nabla {\varphi _i}} ,\quad \quad \quad \int\limits_\Omega {f{\varphi _i}} \quad \forall i,j = 1, \ldots ,N

Es ist günstig, wenn die Funktionen {\varphi _i} nur einen kleinen Träger haben:

supp\left\{ {{\varphi _i}} \right\}: = \overline {\left\{ {x \in \Omega :{\varphi _i}\left( x \right) \ne 0} \right\}}

Dies wird durch die Finite-Elemente-Methode gewährleistet.
(Gebiet: immer offen, Träger: immer abgeschlossen!)

4.2.3 Fehlerabschätzung für das Galerkin-Verfahren

Zur Abschätzung des Diskretisierungsfehlers im Galerkin-Verfahren benötigen wir neben der {V_0}-Elliptizität und der {V_0}-Beschränktheit die Orthogonalitätseigenschaft des Fehlers:

a\left( {u-{u_h},{v_h}} \right) = 0\quad \forall {v_h} \in {V_{0h}}

Diese erhält man wie folgt:

a\left( {u,v} \right) = \left\langle {f,v} \right\rangle \quad \forall v \in {V_0}

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {u,{v_h}} \right) = \left\langle {f,{v_h}} \right\rangle \quad \forall {v_h} \in {V_{0h}} \subset {V_0}} \\{a\left( {{u_h},{v_h}} \right) = \left\langle {f,{v_h}} \right\rangle \quad \forall {v_h} \in {V_{0h}}} \\   \end{array} } \right\}-\quad \Rightarrow \quad a\left( {u-{u_h},{v_h}} \right) = 0\quad \forall {v_h} \in {V_{0h}}

Erinnerung:

a\left( {v,v} \right) \geq {\mu _1}\left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}^2\quad \forall v \in {V_0}            ({V_0}-Elliptizität)

\left| {a\left( {u,v} \right)} \right| \leq {\mu _2}{\left\| u \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}{\left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}\quad \forall u,v \in {V_0}            ({V_0}-Beschränktheit)

Nutzen wir diese drei Eigenschaften, gelangen wir zu folgender Ungleichung:

{\mu _1}\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}^2\mathop \leq \limits^{Ellipt.} a\left( {u-{u_h},u-{u_h}} \right)

\quad = a\left( {u-{u_h},u-{u_h}} \right)+\underbrace {a\left( {u-{u_h},\overbrace {{u_h}-{v_h}}^{ \in {V_{0h}}}} \right)}_{ = 0}

\quad \mathop = \limits^{bilinear} a\left( {u-{u_h},u-{u_h}+{u_h}-{v_h}} \right)

\quad = a\left( {u-{u_h},u-{v_h}} \right)

\quad \mathop \leq \limits^{Beschr.} {\mu _2}{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}{\left\| {u-{v_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}

Eine einfache Umformung führt zum Lemma von Céa.

4.2.4 Lemma von Céa

Unter den drei Voraussetzungen {V_0}-Elliptizität, {V_0}-Beschränktheit und Orthogonalität des Fehlers gilt für {V_{0h}} \subset {V_0}:

{\mu _1}\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}^2 \leq {\mu _2}{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}{\left\| {u-{v_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}

\quad \Rightarrow \quad {\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}\mathop {\inf }\limits_{{v_h} \in {V_{0h}}} \left\{ {{{\left\| {u-{v_h}} \right\|}_{{H^1}\left( \Omega \right)}}} \right\}

Veranschaulichung:

num-402-orthogonalitat-fehler-veranschaulichung

Die Fehlerabschätzung führt auf ein reines Approximationsproblem, man muss

\mathop {\inf }\limits_{{v_h} \in {V_{0h}}} \left\{ {{{\left\| {u-{v_h}} \right\|}_{{H^1}\left( \Omega \right)}}} \right\}

möglichst gut abschätzen können. Man sollte {V_{0h}} so konstruieren, dass dieses Infimum möglichst klein wird.

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