v4.4 – Affin lineare Transformation

 

4.4.1 Definition

Seien x,\hat x,b \in {\mathbb{R}^d} Vektoren und B \in {\mathbb{R}^{d \times d}} eine reguläre Matrix, d = 2 oder d = 3. Dann beschreibt

x = F\left( {\hat x} \right) = \underbrace B_{linear}\hat x+\underbrace b_{affin}

eine affin lineare Transformation.

4.4.2 Eigenschaften

  1. Transformiert man alle Punkte \hat x eines Simplexes (Dreiecks oder Tetraeders) \hat T affin linear, erhält man wieder ein Simplex
  2. Die Umkehrtransformation einer affin linearen Transformation ist affin linear
  3. Zu zwei Simlices \hat T und T gibt es eine affin lineare Transformation F mit T = F\left( {\hat T} \right).
  4. Ist p\left( x \right) ein Polynom vom Grad k, dann ist \hat p\left( {\hat x} \right) = p\left( {F\left( {\hat x} \right)} \right) ebenfalls ein Polynom vom Grad k, d.h. {\mathcal{P}_k} ist invariant unter affinen Transformationen.

num-404-affin-lineare-transformation-dreieckselement

Die Bedeutung dieses Satzes liegt darin, dass man viele Betrachtungen nur auf einem festen Referenzelement anstellen muss, der Rest folgt dann über Transformation. Z.B. sind bei der Berechnung der rechten Seite des Finite-Elemente-Gleichungssystems Integrale auszuwerten. Es gilt:

\int\limits_T {f\varphi dx} = \int\limits_{\hat T} {\hat f\hat \varphi \left| J \right|d\hat x}

wobei J die Jacobi’sche Funktionaldeterminante der Transformation \hat x \mapsto x ist. Die Ansatzfunktionen sowie Quadraturpunkte und –gewichte muss man folglich nur für das Referenzelement kennen bzw. implementieren.

4.4.3 Affine Vierecks- und Quaderelemente

Sei T ein achsenparalleles Rechteckelement. Der einfachste Polynomraum ist {Q_1} = span\left\{ {1,{x_1},{x_2},{x_1}{x_2}} \right\}, der Raum der bilinearen Funktionen. Die Vorgabe von Funktionswerten in den Eckpunkten definiert eindeutig eine Funktion aus {Q_1}.

Sei T nun das Quadrat mit den Eckpunkten \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {0,1} \right),\left( {-1,0} \right),\left( {0,-1} \right)} \right\}. In diesem Fall können wir als Polynomraum nicht {Q_1} = span\left\{ {1,{x_1},{x_2},{x_1}{x_2}} \right\} wählen, denn jede Vorgabe von Funktionswerten in den Eckpunkten definiert entweder keine oder unendlich viele Funktionen aus diesem Raum. Es gilt {x_1}{x_2} = 0 in allen Ecken! Wir müssen also einen anderen Zugang wählen.

Für alle Parallelogrammelemente T (Spat/Parallelepiped in 3D) existiert eine affin lineare Transformation \hat x = F_T^{-1}\left( x \right) auf das Referenzelement \hat T = {\left( {0,1} \right)^d}. Wir wählen als Ansatzraum \hat{ \mathcal{P}} auf \hat T die bi- bzw. trilinearen Funktionen und transformieren diesen Raum auf T, so dass {\mathcal{P}_T} = \hat{ \mathcal{P}} \circ F_T^{-1} gilt. Dabei geht \hat v = {a_0}+{a_1}{\hat x_1}+{a_2}{\hat x_2}+{a_3}{\hat x_1}{\hat x_2} in ein allgemeines Polynom 2. Grades über. Der Raum {\mathcal{P}_T} ist also ein {2^d}-dimensionaler Teilraum des Raums {\mathcal{P}_d} aller Polynome d-ten Grades.

Merke: Bilinearer Ansatz bedeutet bilinear auf dem Referenzelement!

Dieser Zugang lässt sich natürlich auf Polynome höheren Grades erweitern. Mit \hat P = {Q_2} bzw. \hat P = {Q_3} erhält man zum Beispiel den bi-(tri-)quadratischen bzw. bi-(tri-)kubischen Ansatz, wobei man diese Räume auch ich ihrer Dimension reduzieren kann, ohne die Approximationseigenschaften zu verschlechtern (Serendipity-Elemente).

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Eine affine Transformation auf das Referenzelement existiert nur für Parallelogramme bzw. Parallelepipede. Im allgemeinen Fall muss man eine nichtlineare Transformation verwenden.

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