v4.5 – Approximationssätze

 

4.5.1 Interpolation

Sei N die Dimension des Finite-Elemente-Raumes {V_{0h}} und seien {\vec x_j},\:\:j = 1, \ldots ,N die Knoten, in denen die Basisfunktionen lokalisiert sind. Die Interpolierende {I_h}v \in {V_{0h}} ist durch

v\left( {{{\vec x}_j}} \right) = \left( {{I_h}{{\vec x}_j}} \right)\quad \quad j = 1, \ldots ,N

eindeutig bestimmt. Ist \left\{ {{\varphi _i}} \right\}_{i = 1}^N die Knotenbasis in {V_{0h}}, d.h.

{\varphi _i}\left( {{{\vec x}_j}} \right) = {\delta _{ij}}

dann ist die Interpolierende durch

\left( {{I_h}v} \right)\left( {\vec x} \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {v\left( {{{\vec x}_i}} \right){\varphi _i}\left( {\vec x} \right)}

definiert.

4.5.2 Interpolationsfehlerabschätzung

4.5.2.1 Lokale Interpolationsfehlerabschätzung

Sei T ein isotropes Simplexelement mit Durchmesser {h_T} und {\left. {{I_h}u} \right|_T} \in {\mathcal{P}_k},\:\:k \geq 1.

Dann gilt für u \in {H^{k+1}}\left( T \right):

{\left| {u-{I_h}u} \right|_{{H^m}\left( T \right)}} \leq Ch_T^{k+1-m}{\left| u \right|_{{H^{k+1}}\left( T \right)}},\quad \quad m = 0, \ldots ,k\quad \quad \quad \quad \left( * \right)

Interpolationsfehlerabschätzungen werden typischerweise auf einem Referenzelement \hat T bewiesen und dann mit Hilfe der affinen Abbildung {F_T}:{\mathbb{R}^d} \mapsto {\mathbb{R}^d}, die T = {F_T}\left( {\hat T} \right) erfüllt, auf das Element T umgerechnet.

Bei Polynomgrad k = 1 gilt

{\left\| {u-{I_h}u} \right\|_{{L^2}\left( T \right)}} \leq Ch_T^2{\left| u \right|_{{H^2}\left( T \right)}}

{\left| {u-{I_h}u} \right|_{{H^1}\left( T \right)}} \leq C{h_T}{\left| u \right|_{{H^2}\left( T \right)}}

Bei Polynomgrad k = 2 gilt

{\left\| {u-{I_h}u} \right\|_{{L^2}\left( T \right)}} \leq Ch_T^3{\left| u \right|_{{H^3}\left( T \right)}}

{\left| {u-{I_h}u} \right|_{{H^1}\left( T \right)}} \leq Ch_T^2{\left| u \right|_{{H^3}\left( T \right)}}

4.5.2.2 globaler Fehler in der {H^1}-Norm

Für die Approximation mit stückweisen Polynomen vom Grad k \geq 1 gilt:

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq C{h^k}{\left| u \right|_{{H^{k+1}}\left( \Omega \right)}}

Der Unterschied zwischen {I_h}u und {u_h} ist, dass {I_h}u die Interpolation der exakten Funktionswerte ist (die Lösung ist also nur zwischen den Stützstellen nicht exakt). {u_h} hingegen ist die Interpolation der approximierten Funktionswerte.

Beweis: Der Beweis wird mit dem Lemma von Céa und den lokalen Interpolationsfehlerabschätzungen geführt:

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}\mathop {\inf }\limits_{{v_h} \in {V_{0h}}} \left\{ {{{\left\| {u-{v_h}} \right\|}_{{H^1}\left( \Omega \right)}}} \right\}

\quad \quad \leq \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\left\| {u-{I_h}u} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}

\quad \quad = \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\left( {\sum\limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {\left\| {u-{I_h}u} \right\|_{{H^1}\left( T \right)}^2} } \right)^{\frac{1}{2}}}

Im nächsten Schritt setzen wir die Abschätzung des lokalen Interpolationsfehlers ein. Das können wir tun, obwohl die Abschätzung in der Seminorm ist, da der dadurch entstehende Fehler vernachlässigbar klein ist (eine Ordnung kleiner).

\quad \quad \leq \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\left( {\sum\limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {{{\left( {Ch_T^k{{\left| u \right|}_{{H^{k+1}}\left( T \right)}}} \right)}^2}} } \right)^{\frac{1}{2}}}

\quad \quad \leq \frac{{{\mu _2}}}{{{\mu _1}}}{\left( {\sum\limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {{{\left( {C{h^k}{{\left| u \right|}_{{H^{k+1}}\left( T \right)}}} \right)}^2}} } \right)^{\frac{1}{2}}}

\quad \quad = C{h^k}{\left( {\sum\limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {{{\left( {{{\left| u \right|}_{{H^{k+1}}\left( T \right)}}} \right)}^2}} } \right)^{\frac{1}{2}}}

\quad \quad \leq C{h^k}{\left| u \right|_{{H^{k+1}}\left( \Omega \right)}}

Falls {\left| u \right|_{{H^2}\left( \Omega \right)}} \leq C{\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} gilt, kann man den Fehler in der {H^1}-Norm wie folgt abschätzen:

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq Ch{\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

4.5.2.3 globaler Fehler in der {L^2}-Norm

Eine {L^2}\left( \Omega \right)-Fehlerschätzung erhält man mit Hilfe eines Dualitätsarguments („Nitsche-Trick).

Wir betrachten diejenige Funktion w \in {V_0}, für die

a\left( {v,w} \right) = {\left( {u-{u_h},v} \right)_{{L^2}\left( \Omega \right)}}\quad \forall v \in {V_0}\quad \quad \quad \quad \left( {17} \right)

gilt, und die zugehörige Finite-Elemente-Lösung {w_h}.

Für den Fehler in der {H^1}\left( \Omega \right)-Norm gilt:

{\left\| {w-{w_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq Ch{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}\quad \quad \quad \quad \left( {18} \right)

z.B. wenn das Gebiet konvex ist. Für den stückweise linearen Ansatz gilt mit Hilfe von Beziehung \left( {17} \right) mit v = u-{u_h}:

\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2 = {\left( {u-{u_h},u-{u_h}} \right)_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

\quad \quad \mathop = \limits^{Bedingung} a\left( {u-{u_h},w} \right)

\quad \quad \mathop = \limits^{orthogonal} a\left( {u-{u_h},w} \right)-\underbrace {a\left( {u-{u_h},{w_h}} \right)}_{ = 0}\quad \quad {w_h} \in {V_{0h}}

\quad \quad \mathop = \limits^{bilinear} a\left( {u-{u_h},w-{w_h}} \right)

\quad \quad \mathop \leq \limits^{beschraenkt} {\mu _2}{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}{\left\| {w-{w_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}

\quad \quad \mathop \leq \limits^{gegeben} {\mu _2}{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}Ch{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

\quad \quad \mathop \leq \limits^{Fehler\:\:{H^1}} {\mu _2}Ch{\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}Ch{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} \leq C{h^2}{\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

Bei quadratischem Ansatz ergibt sich analog:

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} \leq C{h^3}{\left\| u \right\|_{{H^3}\left( \Omega \right)}}

4.5.2.4 globaler Fehler in der {L^\infty }-Norm

Ohne Beweis sei noch die Fehlerabschätzung

{\left\| {u-{u_h}} \right\|_{{L^\infty }\left( \Omega \right)}} \leq C{h^2}\left| {\ln h} \right|{\left| u \right|_{{W^{2,\infty }}\left( \Omega \right)}}\quad \quad \quad \quad \left( {19} \right)

für den stückweise linearen Ansatz gegeben.