v4.1 – Variationsformulierung für elliptische Randwertaufgaben

 

4 Finite Elemente für Randwertaufgaben

Sei {C^2} der lineare Raum aller in einem offenen, zusammenhängenden Gebiet \Omega zweifach stetig differenzierbaren Funktionen und C\left( {\bar \Omega } \right) die Menge aller bis zum Rand \partial \Omega von \Omega stetigen Funktionen.

4.1.1 Klassische Formulierung des Dirichlet-Problems für Poissongleichung

Gesucht sei u \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap C\left( {\bar \Omega } \right) mit

-\Delta u = f\quad in\:\:\:\Omega \quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

u = 0\quad \quad auf\:\:\partial \Omega \quad \quad \quad \quad \:\left( 2 \right)

Die Differentialgleichung \left( 1 \right) heißt Poissongleichung. Die Randbedingung \left( 2 \right), bei der die Funktionswerte der gesuchten Funktion vorgegeben werden, wird als Dirichlet-Randbedingung bezeichnet. Da die rechte Seite in der Randbedingung gleich Null ist, spricht man von einer homogenen Randbedingung.

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) beruht auf der Formulierung der Randwertaufgabe als Variationsaufgabe.

4.1.2 Herleitung der Variationsformulierung

Zur Herleitung der Variationsformulierung multiplizieren wir die Differentialgleichung \left( 1 \right) mit einer beliebigen Testfunktion v, integrieren über \Omega und integrieren partiell (Green’sche Formel):

\int\limits_\Omega {fv} = -\int\limits_\Omega {\Delta uv} = -\int\limits_{\partial \Omega } {\frac{{\partial u}}{{\partial n}}v} +\int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v}

Wir erhalten

\int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v} = \int\limits_\Omega {fv} \quad \forall v:v = 0\quad auf\:\:\partial \Omega \quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)

Während u in \left( 1 \right) zweimal stetig differenzierbar sein muss, treten in \left( 3 \right) nur noch erste Ableitungen auf.

4.1.3 Der Funktionenräume

Zur genauen Definition der Variationsformulierung benötigen wir noch Funktionenräume.

Der Funktionenraum {L^2}\left( \Omega \right) besteht aus allen quadratisch (Lebesgue-)integrierbaren Funktionen. In {L^2}\left( \Omega \right) sind ein Skalarprodukt und eine Norm durch

{\left( {u,v} \right)_{{L^2}\left( \Omega \right)}}: = \int\limits_\Omega {uv}

{\left\| v \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} = \sqrt {\int\limits_\Omega {{{\left| v \right|}^2}} }

definiert. Funktionen aus {L^2} brauchen nicht stetig zu sein.

Der Funktionenraum {L^\infty }\left( \Omega \right) besteht aus allen Funktionen, die fast überall beschränkt sind. In {L^\infty }\left( \Omega \right) ist eine Norm durch

{\left\| v \right\|_{{L^\infty }\left( \Omega \right)}}: = \inf \left\{ {C \geq 0:\left| {f\left( x \right)} \right| \leq C} \right\} für fast alle x

definiert. Funktionen aus {L^\infty } brauchen ebenfalls nicht stetig zu sein. Es gibt kein Skalarprodukt, das die {L^\infty }\left( \Omega \right)-Norm induziert.

Der Funktionenraum {H^k}\left( \Omega \right) besteht aus allen quadratisch integrierbaren Funktionen, deren (verallgemeinerte) Ableitungen bis zur k-ten Ordnung ebenfalls quadratisch integrierbar sind.

In {H^1}\left( \Omega \right) sind eine Norm und eine Seminorm durch

{\left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}: = \sqrt {\int\limits_\Omega {{{\left| v \right|}^2}+{{\left| {\nabla v} \right|}^2}} }

{\left| v \right|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}: = \sqrt {\int\limits_\Omega {{{\left| {\nabla v} \right|}^2}} }

definiert. Es ist also

{H^1}\left( \Omega \right): = \left\{ {v:{{\left\| v \right\|}_{{H^1}\left( \Omega \right)}} < \infty } \right\}

Bei Funktionen aus {H^1}\left( \Omega \right) darf die erste Ableitung auch unstetig sein. In Anwendungen charakterisiert \left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}^2 manchmal eine Energie, so dass man von Funktionen mit beschränkter Energie spricht.

In {H^k}\left( \Omega \right) mit k \geq 2 werden Skalarprodukt und (Semi-)Norm analog unter Verwendung von entsprechend mehr und höheren Ableitungen definiert.

Beispiele:

  • Alle Funktionen aus {C^1}\left( {\bar \Omega } \right) sind auch Elemente des {H^1}\left( \Omega \right).
  • v\left( x \right) = \left| x \right| ist aus {H^1}\left( \Omega \right),\:\:\Omega = \left( {-1,1} \right), obwohl die erste Ableitung einen Sprung hat
  • v\left( x \right) = {x^{\frac{2}{3}}} ist aus {H^1}\left( \Omega \right),\:\:\Omega = \left( {0,1} \right), obwohl die erste Ableitung eine Polstelle hat
  • Nicht alle Elemente aus {C^1}\left( \Omega \right) sind auch Elemente des {H^1}\left( \Omega \right)
  • Sprungfunktionen sind nicht in {H^1}\left( \Omega \right)

4.1.4 Variationsformulierung

Definiert sei der Raum

{V_0} = \left\{ {v \in {H^1}\left( \Omega \right):v = 0\quad auf\:\:\partial \Omega } \right\},

die Bilinearform und Dualitätsprodukt

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v} ,\quad \quad \left\langle {f,v} \right\rangle = \int\limits_\Omega {fv}

dann lautet die Variationsformulierung der Randwertaufgabe \left( 1 \right)\left( 2 \right):

Finde u \in {V_0}, so dass a\left( {u,v} \right) = \left\langle {f,v} \right\rangle \quad \forall v \in {V_0}\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)

Man kann zeigen, dass für f \in V_0^* \supset {L^2}\left( \Omega \right) eine eindeutige Lösung von \left( 4 \right) existiert. Dabei bezeichnet V_0^* den Dualraum zu {V_0}.
Offenbar ist jede Lösung von \left( 1 \right) auch Lösung von \left( 4 \right).
Man kann auch zeigen: Wenn die Lösung von \left( 4 \right) zweimal stetig differenzierbar ist, dann ist sie auch Lösung von \left( 1 \right).
Es gibt Probleme, die eine Variationslösung, aber keine klassische Lösung haben.

4.1.5 Klassische Formulierung des gemischten Randwertproblems für die Poissongleichung

Sei \partial \Omega = {\Gamma _1} \cup {\Gamma _2} \cup {\Gamma _3} und {\Gamma _i} \cap {\Gamma _j} = \emptyset ,\:\:i \ne j. Gesucht ist eine Funktion u \in {C^2}\left( \Omega \right) \cap {C^1}\left( {\Omega \cup {\Gamma _2} \cup {\Gamma _3}} \right) \cap C\left( {\bar \Omega } \right), die die Poissongleichung \left( 1 \right), die Dirichlet-Randbedingung

u = {g_1}\quad auf\:\:{\Gamma _1}\quad \quad \quad \quad \left( 5 \right)

die Neumann-Randbedingung

\frac{{\partial u}}{{\partial n}} = {g_2}\quad auf\:\:{\Gamma _2}\quad \quad \quad \quad \left( 6 \right)

sowie die Robin-Randbedingung

\frac{{\partial u}}{{\partial n}}+\sigma u = {g_3}\quad auf\:\:{\Gamma _3}\quad \quad \quad \quad \left( 7 \right)

erfüllt. Es bezeichnet n die äußere Normale an \partial \Omega.

Wird die oben genannte Randwertaufgabe als Wärmeleitproblem aufgefasst, entspricht die Dirichlet-Randbedingung einer Temperaturvorgabe an den Randpunkten, die Neumann-Randbedingung einer Vorgabe des Wärmestroms und die Robin-Randbedingung einer Proportionalität des Wärmestroms zur Differenz aus Temperatur am Rand und in der Umgebung.

4.1.6 Variationsformulierung des gemischten Randwertproblems für die Poissongleichung

Zur Variationsformulierung gelangen wir auch hier über die Multiplikation der Differentialgleichung \left( 1 \right) mit einer beliebigen Testfunktion v. Durch Integrieren über \Omega und anschließende Anwendung der Green’schen Formel erhalten wir

\int\limits_\Omega {fv} = -\int\limits_\Omega {\Delta uv} = \int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v} -\int\limits_{\Gamma 1} {\frac{{\partial u}}{{\partial n}}v} -\int\limits_{\Gamma 2} {\frac{{\partial u}}{{\partial n}}v} -\int\limits_{\Gamma 3} {\frac{{\partial u}}{{\partial n}}v}

Unter Nutzung der Randbedingungen ergibt sich für alle v mit v = 0\quad auf\:\:{\Gamma _1}:

\int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v} -\int\limits_{\Gamma 2} {{g_2}v} -\int\limits_{\Gamma 3} {{g_3}v} +\int\limits_{\Gamma 3} {\sigma uv} = \int\limits_\Omega {fv}

Sei

{V_0} = \left\{ {v \in {H^1}\left( \Omega \right):v = 0\quad auf\:\:{\Gamma _1}} \right\}

{V_g} = \left\{ {v \in {H^1}\left( \Omega \right):v = {g_1}\quad auf\:\:{\Gamma _1}} \right\}

und

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla v} +\int\limits_{{\Gamma _3}} {\sigma uv}

\left\langle {F,v} \right\rangle = \int\limits_\Omega {fv} +\int\limits_{{\Gamma _2}} {{g_2}v} +\int\limits_{{\Gamma _3}} {{g_3}v}

so lautet die Variationsformulierung für das gemischte Randwertproblem für die Poissongleichung:

Finde u \in {V_g}, so dass a\left( {u,v} \right) = \left\langle {F,v} \right\rangle \quad \forall v \in {V_0}.

4.1.7 Homogene Dirichlet-Randbedingungen

Homogene Dirichlet-Randbedingungen sind einfacher zu handhaben, weil keine Unterscheidung zwischen {V_0} und {V_g} nötig ist. Wir betrachten deshalb im Weiteren keine inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen. Das ist keine Einschränkung, wenn man eine Funktion {u_g} \in {H^1}\left( \Omega \right) kennt, für die

{u_g} = {g_1}\quad auf\:\:{\Gamma _1}w

Für u = {u_0}+{u_g} sucht man dann {u_0} \in {V_0}, so dass

a\left( {{u_0},v} \right) = \left\langle {{F_0},v} \right\rangle : = \left\langle {F,v} \right\rangle -a\left( {{u_g},v} \right)\quad \forall v \in {V_0}

Die Funktion u = {u_0}+{u_g} löst dann unsere Aufgabe mit inhomogenen DRB, wobei wir die Funktion {u_0}, die homogene DRB erfüllt, berechnen.

4.1.8 DGL mit allgemeinem elliptischen Operator

Sei A = \left[ {{a_{i,j}}} \right]_{i,j = 1}^2 eine symmetrische (A = {A^T}) und positiv definite (\exists {\mu _1} > 0:{x^T}Ax \geq {\mu _1}{x^2}) Matrix und

b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}} \\{{b_2}} \\   \end{array} } \right)

ein Vektor, so lautet die klassische Formulierung einer Differentialgleichung mit elliptischem Operator 2. Ordnung: Gesucht sei u \in {C^2}\left( \Omega \right) mit

-\nabla \cdot A\nabla u+b \cdot \nabla u+cu = f\quad in\:\:\:\Omega

Durch Vorgabe von Randbedingungen erhält man eine Randwertaufgabe. Die typische Ableitung auf dem Rand ist hier nicht die Normalenableitung \nabla u \cdot n, sondern die Konormalenableitung A\nabla u \cdot n.

Die Koeffizienten A,b,c können von der Variablen x \in \Omega abhängig sein.

4.1.9 Herleitung der Variationsformulierung

Wir betrachten das Dirichletproblem, u = 0 auf dem Rand. Es ergibt sich auf bekanntem Weg mit Testfunktion v, die die Dirichlet-Randbedingung erfüllt:

\int\limits_\Omega {fv} = -\int\limits_\Omega {\left( {\nabla \cdot A\nabla u} \right)v} +\int\limits_\Omega {\left( {b \cdot \nabla u} \right)v} +\int\limits_\Omega {cuv}

Über mehrere Rechenschritte ergibt sich die Variationsformulierung:

Sei

a\left( {u,v} \right): = \int\limits_\Omega {\left[ {A\nabla u \cdot \nabla v+\frac{1}{2}\left[ {\left( {b \cdot \nabla u} \right)v-\left( {b \cdot \nabla v} \right)u} \right]+\left( {c-\frac{1}{2}\nabla \cdot b} \right)uv} \right]} \quad \quad \quad \quad \left( 9 \right)

\left\langle {f,v} \right\rangle : = \int\limits_\Omega {fv} \quad \quad \quad \quad \left( {10} \right)

Dann lautet die Variationsformulierung für eine allgemeine Differentialgleichung 2. Ordnung:

Finde u \in {V_0}, so dass a\left( {u,v} \right) = \left\langle {f,v} \right\rangle \quad \forall v \in {V_0}

wobei {V_0} = \left\{ {v \in {H^1}:v = 0\quad auf\:\:\partial \Omega } \right\}

4.1.10 Lax-Milgram

Sei F \in V_0^* und a:{V_0} \times {V_0} \mapsto \mathbb{R} eine Bilinearform, für die Konstanten {\mu _1},{\mu _2} > 0 existieren, so dass

a\left( {v,v} \right) \geq {\mu _1}\left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}^2\quad \forall v \in {V_0}            ({V_0}-Elliptizität)

\left| {a\left( {u,v} \right)} \right| \leq {\mu _2}{\left\| u \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}{\left\| v \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}}\quad \forall u,v \in {V_0}            ({V_0}-Beschränktheit)

gilt, dann existiert eine eindeutige Lösung u \in {V_0} mit

a\left( {u,v} \right) = \left\langle {F,v} \right\rangle \quad \forall v \in {V_0}

Es gilt: {\left\| u \right\|_{{H^1}\left( \Omega \right)}} \leq \frac{1}{{{\mu _1}}}{\left\| F \right\|_{V_0^*}}

Sind alle Daten beschränkt, ist A positiv definit und gilt

c-\frac{1}{2}\nabla \cdot b > 0\quad in\:\:\:\Omega

dann existiert die Variationslösung der Aufgabe \left( 9 \right)\left( {10} \right)\left( {11} \right).

4.1.11 Regularität der Lösung

Es gilt u \in {H^1}\left( \Omega \right) für f \in V_0^*. Es gilt u \in {H^2}\left( \Omega \right) bzw. {\left\| u \right\|_{{H^2}\left( \Omega \right)}} \leq C{\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}, wenn f \in {L^2}\left( \Omega \right) und der Rand entweder glatt oder konvex polygonal. Ist der Rand von \Omega polygonal, aber nicht konvex, dann gilt im Allgemeinen u \notin {H^2}\left( \Omega \right), auch wenn f unendlich oft differenzierbar ist.

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