01.5 – Vektorraum aus Funktionsmenge

 

Zeigen Sie, dass die Menge der Funktionen

span\left\{ {1,\sin ^2 x,\cos ^2 x} \right\} = \left\{ {c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 \cos ^2 x,\quad c_i  \in \mathbb{R}} \right\}

einen Vektorraum bildet. Welche Dimension hat er?

Lösung

Da es drei Summanden gibt (statt eines Produktes), ziehen sich Addition und skalare Multiplikation durch und die Funktion bleibt bezüglich dieser Operationen abgeschlossen.

Multiplikation:

\lambda \left( {c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 \cos ^2 x} \right) = \underbrace {\lambda c_1 }_{c_4 }+\underbrace {\lambda c_2 }_{c_5 }\sin ^2 x+\underbrace {\lambda c_3 }_{c_6 }\cos ^2 x

= c_4 +c_5 \sin ^2 x+c_6 \cos ^2 x

Addition:

\left( {c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 \cos ^2 x} \right)+\left( {c_4 +c_5 \sin ^2 x+c_6 \cos ^2 x} \right)

= \left( {c_1 +c_4 } \right)+\left( {c_2 +c_5 } \right)\sin ^2 x+\left( {c_3 +c_6 } \right)\cos ^2 x

Die Dimension ist = 2

Erklärung:

Wir wissen, dass: \cos ^2 x = 1-\sin ^2 x

Eingesetzt folgt daraus:

c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 \cos ^2 x = c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 \left( {1-\sin ^2 x} \right)

= c_1 +c_2 \sin ^2 x+c_3 -c_3 \sin ^2 x = \underbrace {c_1 +c_3 }_{c_4 }+\underbrace {\left( {c_2 -c_3 } \right)}_{c_5 }\sin ^2 x = c_4 +c_5 \sin ^2 x

Somit besteht die Funktion nur aus 2 unabhängigen Teilen. Daher ist die Dimension = 2.