01.4 – Vektorräume

 

Welche der folgenden Mengen von Vektoren {\left( {a,b,c} \right)^T} sind Vektorräume?

  1. Alle Vektoren mit b = 0
  2. Alle Vektoren mit b = 1
  3. Alle Vektoren mit c-a = 2b

Lösung

a)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ 0 \\ c \\ \end{array} } \right)

ist ein Vektorraum, da bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation abgeschlossen, denn in beiden Fällen erhalten wir wieder einen Vektor mit b = 0:

\left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ 0 \\ c \\ \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} d \\ 0 \\ f \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {a + d} \\ 0 \\ {c + f} \\ \end{array} } \right)

\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ 0 \\ c \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\lambda a} \\ 0 \\ {\lambda c} \\ \end{array} } \right)

b)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ 1 \\ c \\ \end{array} } \right)

ist kein Vektorraum, da z.B.

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} \\ 1 \\ {{c_1}} \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}} \\ 1 \\ {{c_2}} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}} \\ 2 \\ {{c_3}} \\ \end{array} } \right)

bei b eine 2 stehen hat. Dadurch ist die Summe nicht Element des Raumes.

c)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ {\frac{{c-a}} {2}} \\ c \\ \end{array} } \right)

ist ein Vektorraum, da er bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Addition:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ {\frac{{c-a}} {2}} \\ c \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} b \\ {\frac{{d-b}} {2}} \\ d \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a+b} \\ {\frac{{\left( {c+d} \right)-\left( {a+b} \right)}} {2}} \\ {c+d} \\ \end{array} } \right)

Anschaulicher machen durch Substitution:

f: = a+b

g: = c+d

Es ergibt sich:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a+b} \\ {\frac{{\left( {c+d} \right)-\left( {a+b} \right)}} {2}} \\ {c+d} \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} f \\ {\frac{{g-f}} {2}} \\ g \\ \end{array} } \right)

skalare Multiplikation:

\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ {\frac{{c-a}} {2}} \\ c \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda a} \\ {\frac{{\lambda c-\lambda a}} {2}} \\ {\lambda c} \\ \end{array} } \right)

Auch hier kann man nun wieder substituieren.

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen