01.4 – Vektorräume

 

Welche der folgenden Mengen von Vektoren {\left( {a,b,c} \right)^T} sind Vektorräume?

  1. Alle Vektoren mit b = 0
  2. Alle Vektoren mit b = 1
  3. Alle Vektoren mit c-a = 2b

Lösung

a)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    0  \\    c  \\   \end{array} } \right)

ist ein Vektorraum, da bezüglich der Addition und skalaren Multiplikation abgeschlossen, denn in beiden Fällen erhalten wir wieder einen Vektor mit b = 0:

\left( {\begin{array}{*{20}c}    a  \\    0  \\    c  \\   \end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}    d  \\    0  \\    f  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}    {a + d}  \\    0  \\    {c + f}  \\   \end{array} } \right)

\lambda \left( {\begin{array}{*{20}c}    a  \\    0  \\    c  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}    {\lambda a}  \\    0  \\    {\lambda c}  \\   \end{array} } \right)

b)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    1  \\    c  \\   \end{array} } \right)

ist kein Vektorraum, da z.B.

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{a_1}}  \\    1  \\    {{c_1}}  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{a_2}}  \\    1  \\    {{c_2}}  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{a_3}}  \\    2  \\    {{c_3}}  \\   \end{array} } \right)

bei b eine 2 stehen hat. Dadurch ist die Summe nicht Element des Raumes.

c)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    {\frac{{c-a}} {2}}  \\    c  \\   \end{array} } \right)

ist ein Vektorraum, da er bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist.

Addition:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    {\frac{{c-a}} {2}}  \\    c  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    b  \\    {\frac{{d-b}} {2}}  \\    d  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+b}  \\    {\frac{{\left( {c+d} \right)-\left( {a+b} \right)}} {2}}  \\    {c+d}  \\   \end{array} } \right)

Anschaulicher machen durch Substitution:

f: = a+b

g: = c+d

Es ergibt sich:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+b}  \\    {\frac{{\left( {c+d} \right)-\left( {a+b} \right)}} {2}}  \\    {c+d}  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    f  \\    {\frac{{g-f}} {2}}  \\    g  \\   \end{array} } \right)

skalare Multiplikation:

\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    {\frac{{c-a}} {2}}  \\    c  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\lambda a}  \\    {\frac{{\lambda c-\lambda a}} {2}}  \\    {\lambda c}  \\   \end{array} } \right)

Auch hier kann man nun wieder substituieren.

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