06.2 – Verdichtungsstoß beim Ausströmen durch Lavaldüse

 

Aus einem großen Behälter, in dem der Druck p_0=5bar und die Temperatur T_0=273,15K herrschen, strömt Luft durch eine Lavaldüse in eine Atmosphäre mit dem Druck p_U. Im engsten Querschnitt mit der Fläche A^{*} herrscht Schallgeschwindigkeit und weiter stromabwärts befindet sich an der Stelle mit der Querschnittsfläche A_V ein senkrechter, stationärer Verdichtungsstoß.

verdichtungsstoss lavalduse

Es sollen folgende Größen ermittelt werden:

  1. die Dichte \rho_0 im Kessel
  2. die Zustandsgrößen p_V, T_V und \rho_V der Luft unmittelbar vor dem Verdichtungsstoß (Vorstoß-Machzahl ist 1,9)
  3. die Nachstoß-Machzahl \hat M_V
  4. die Zustandsgrößen \hat p_V, \hat T_V und \hat \rho_V der Luft unmittelbar nach dem Verdichtungsstoß
  5. den Ruhedruck (Gesamtdruck) \hat p_{0,V} und die Ruhetemperatur (Gesamttemperatur) \hat T_{0,V} unmittelbar hinter dem Verdichtungsstoß
  6. den Druck p_U der Atmosphäre (Machzahl am Austritt aus der Laval-Düse 0,42)

Hinweis: Die Strömung verläuft überall isentrop, außer an der Stelle wo sich der Verdichtungsstoß befindet.

Lösung

Benötigte Gleichungen

Schallgeschwindigkeit:

\left( 1 \right)\quad c = \sqrt {\kappa RT}

Ideale Gasgleichung:

\left( 2 \right)\quad p = \rho RT

Energieerhaltung:

\left( 3 \right)\quad \frac{{{T_2}}} {{{T_\infty}}} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}}} \right)}^2}} \right]

daraus folgend:

\left( 4 \right)\quad \frac{{{T_0}}} {T} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2

\left( 5 \right)\quad \frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

\left( 6 \right)\quad \frac{{{\rho _0}}} {\rho } = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}}

\left( 7 \right)\quad \frac{{{\rho _\infty}}} {{{\rho _2}}} = \frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}} = 1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)

\left( 8 \right)\quad \frac{{{p_2}}} {{{p_\infty}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)

\left( 9 \right)\quad M{a_2} = M{a_\infty}\sqrt {\frac{{1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)}}}

a )

mit Gleichung 2 berechnen wir die Dichte:

{\rho _0} = \frac{{{p_0}}} {{R{T_0}}} = \frac{{5 \cdot {{10}^5}Pa}} {{287\frac{J} {{kgK}}273,15K}} = 6,98\frac{{kg}} {{{m^3}}}

b )

mit Gleichung 4 berechnen wir die Temperatur:

{T_V} = \frac{{{T_0}}} {{1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_V^2}} = 158,6K = -114,5^\circ C

mit Gleichung 5 berechnen wir den Druck:

{p_V} = {p_0}{\left( {\frac{{{T_V}}} {{{T_0}}}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}} = 0,75bar

mit Gleichung 6 berechnen wir die Dichte:

{\rho _V} = {\rho _0}{\left( {\frac{{{T_V}}} {{{T_0}}}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}} = 1,64\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Gleichungen 5 und 6 können wir hier nur benutzen, weil wir den Übergang aus dem Ruhebereich zu einem Bereich vor dem Verdichtungsstoß betrachten. Über einen Verdichtungsstoß hinweg müssten wir Gleichung 7 bzw. 8 nutzen.

c )

mit Gleichung 9 folgt für die Nachstoß-Machzahl:

M{a_V} = 0,6

d )

mit Gleichung 7 ergibt sich:

{{\hat \rho }_V} = \frac{{{\rho _V}}} {{1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_V^2}}} \right)}} = 4,13\frac{{kg}} {{{m^3}}}

mit Gleichung 8 folgt:

{{\hat p}_V} = {p_V}\left[ {1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_V^2-1} \right)} \right] = 3,03bar

Da die Ruhetemperatur durch den Stoß nicht geändert wird, gilt nach Gleichung 4:

{{\hat T}_0} = {T_0}\quad \Rightarrow \quad {{\hat T}_V} = \frac{{{T_0}}} {{1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_V^2}}

e )

mit Gleichung 5 berechnen wir {{\hat p}_{0,V}}:

{{\hat p}_0} = {{\hat p}_{0,V}}{\left( {\frac{{{T_0}}} {{{{\hat T}_V}}}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}} = 3,85bar

Da die Ruhetemperatur konstant ist im gesamten System, gilt:

{{\hat T}_{0,V}} = {T_0} = 273,15K

f )

{p_u} = \frac{{{{\hat p}_{0,V}}}} {{{{\left( {1+\frac{{\kappa -1}} {2}\hat Ma_V^2} \right)}^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}}} = 3,41bar

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2 Kommentare zu “06.2 – Verdichtungsstoß beim Ausströmen durch Lavaldüse”

Jerry
19. 12. 10 at 9:48 pm

Hi Leute,
ich nochmal: sofern ich mich nicht irre, habt ihr euch hier ja nur auf die Gleichungen von Übung 06.1 Verdichtungsstoß am Wiedereintrittsflugkörper bezogen. Dafür solltet Ihr dann aber auch in dieser Übung neben (1) – (8) die (9), die Ihr hergeleitet habt, mit ner besonderen Markierung versehen.
Das habt ihr glaube ich nur vergessen. Sinnvoller wäre natürlich, die hier benötigten Formeln direkt mitanzugeben.

Trotzdem danke, die Lösung hat mir geholfen.

Mfg Jerry

admin
21. 12. 10 at 4:12 am

Danke für den Hinweis, ich habe die Formeln (1) bis (8) in die Lösung dieser Aufgabe übernommen und die (9) hinzugefügt.

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