06.1 – Verdichtungsstoß an Wiedereintrittsflugkörper

 

Vor einem Wiedereintrittsflugzeug bildet sich beim Eintritt in die Atmosphäre eine Kopfwelle aus. Diese kann näherungsweise als senkrechter Stoß behandelt werden. Mit Ausnahme der Kopfwelle ist die Strömung isentrop. Die Atmosphäre ist als ideales Gas zu betrachten mit \kappa=1,4 und R=287\frac{J}{kgK}. Die Strömung ist eben, adiabat und reibungsfrei.

wiedereintrittsflugzeug kopfwelle

  1. Berechnen Sie die Dichte \rho_\infty. Welche Mach-Zahl Ma_\infty sowie welche Geschwindigkeit u_\infty ist maximal erlaubt, damit die zulässige Temperatur T_{0,\max}=840K im Staupunkt des Orbiters nicht überschritten wird?
  2. Berechnen Sie für den Flugzustand aus der vorherigen Teilaufgabe die Machzahl M_{a2}, die Geschwindigkeit u_2, den Druck p_2 und die Dichte \rho_2 unmittelbar hinter dem Verdichtungsstoß. Ermitteln Sie den Staudruck p_{0,2}.

Gegeben: T_\infty=200K, p_\infty=1000Pa

Lösung

Benötigte Gleichungen

Schallgeschwindigkeit:

\left( 1 \right)\quad c = \sqrt {\kappa RT}

Ideale Gasgleichung:

\left( 2 \right)\quad p = \rho RT

Energieerhaltung:

\left( 3 \right)\quad \frac{{{T_2}}} {{{T_\infty}}} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}}} \right)}^2}} \right]

daraus folgend:

\left( 4 \right)\quad \frac{{{T_0}}} {T} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2

\left( 5 \right)\quad \frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}

\left( 6 \right)\quad \frac{{{\rho _0}}} {\rho } = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}}

\left( 7 \right)\quad \frac{{{\rho _\infty}}} {{{\rho _2}}} = \frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}} = 1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)

\left( 8 \right)\quad \frac{{{p_2}}} {{{p_\infty}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)

a )

{\rho _\infty } = \frac{{{p_\infty }}} {{R{T_\infty }}} = 0,017\frac{{Ks}} {{{m^3}}}

mit R = 287\frac{J} {{kgK}}

mit Gleichung 4 folgt:

M{a_{\infty ,\max }} = \sqrt {\left( {\frac{{{T_{0,\max }}}} {{{T_\infty }}}-1} \right)\frac{2} {{\kappa -1}}}  = 4

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

{u_\infty } = M{a_\infty }{c_\infty } = M{a_\infty }\sqrt {\kappa R{T_\infty }}  = 1134\frac{m} {s}

b )

Definition der Machzahl: M{a_2} = \frac{{{u_2}}} {{{c_2}}}

also:

\frac{{Ma_2^2}} {{Ma_\infty^2}} = \frac{{u_2^2}} {{c_2^2}}\frac{{c_\infty^2}} {{u_\infty^2}}

mit

\frac{{c_\infty^2}} {{c_2^2}} = \frac{{{T_\infty}}} {{{T_2}}} = \frac{{{p_\infty}{\rho _2}}} {{{p_2}{\rho _\infty}}}

folgt

\frac{{u_2^2}} {{u_\infty^2}} = \frac{{\rho _\infty^2}} {{\rho _2^2}}

\frac{{Ma_2^2}} {{Ma_\infty^2}} = \frac{{\rho _\infty^2{\rho _2}}} {{\rho _2^2{\rho _\infty}}}\frac{{{p_\infty}}} {{{p_2}}} = \frac{{{\rho _\infty}{p_\infty}}} {{{\rho _2}{p_2}}}

M{a_2} = M{a_\infty}\sqrt {\frac{{1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)}}}  = 0,435

Mit Gleichung 7:

\frac{{{\rho _\infty}}} {{{\rho _2}}} = \frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}} = 0,21875

u_2=u_\infty \cdot 0,22=248\frac{m}{s}

{\rho _2} = \frac{{{\rho _\infty}}} {{0,21875}} = 0,078\frac{{kg}} {{{m^3}}}

aus Gleichung 8 folgt:

{p_2} = {p_\infty}\left[ {1+\frac{{2\kappa }} {{k+1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)} \right] = 18,5kPa = 0,185bar

Der Ruhedruck, der sich hinter dem Stoß ergibt, ist (mit Gleichung 4):

{p_{0,2}} = {p_2}{\left[ {1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_2^2} \right]^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}} = 21,1kPa = 0,211bar

mit der gleichen Gleichung könnte man den Ruhedruck vor dem Stoß ausrechnen:

{p_{0,1}} = {p_\infty }{\left[ {1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty ^2} \right]^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}} = 151,8kPa = 1,518bar

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2 Kommentare zu “06.1 – Verdichtungsstoß an Wiedereintrittsflugkörper”

hi Leute,
Ihr habt vergessen, T0max in Aufgabenteil a anzugeben. laut Aufgabenzettel sind das 840K.

Grüße, ME-MTS09

Danke für den Hinweis, die Temperatur wurde ergänzt.

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