06.1 – Verdichtungsstoß an Wiedereintrittsflugkörper

Vor einem Wiedereintrittsflugzeug bildet sich beim Eintritt in die Atmosphäre eine Kopfwelle aus. Diese kann näherungsweise als senkrechter Stoß behandelt werden. Mit Ausnahme der Kopfwelle ist die Strömung isentrop. Die Atmosphäre ist als ideales Gas zu betrachten mit $\kappa=1,4$ und $R=287\frac{J}{kgK}$ . Die Strömung ist eben, adiabat und reibungsfrei.

wiedereintrittsflugzeug kopfwelle

Berechnen Sie die Dichte $\rho_\infty$ . Welche Mach-Zahl $Ma_\infty$ sowie welche Geschwindigkeit $u_\infty$ ist maximal erlaubt, damit die zulässige Temperatur $T_{0,\max}=840K$ im Staupunkt des Orbiters nicht überschritten wird?
Berechnen Sie für den Flugzustand aus der vorherigen Teilaufgabe die Machzahl $M_{a2}$ , die Geschwindigkeit $u_2$ , den Druck $p_2$ und die Dichte $\rho_2$ unmittelbar hinter dem Verdichtungsstoß. Ermitteln Sie den Staudruck $p_{0,2}$ .

Gegeben: $T_\infty=200K, p_\infty=1000Pa$

Lösung

Benötigte Gleichungen

Schallgeschwindigkeit:

$\left( 1 \right)\quad c = \sqrt {\kappa RT}$

Ideale Gasgleichung:

$\left( 2 \right)\quad p = \rho RT$

Energieerhaltung:

$\left( 3 \right)\quad \frac{{{T_2}}} {{{T_\infty}}} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2\left[ {1-{{\left( {\frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}}} \right)}^2}} \right]$

daraus folgend:

$\left( 4 \right)\quad \frac{{{T_0}}} {T} = 1+\frac{{\kappa -1}} {2}Ma_\infty^2$

$\left( 5 \right)\quad \frac{{{p_0}}} {p} = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{\kappa } {{\kappa -1}}}}$

$\left( 6 \right)\quad \frac{{{\rho _0}}} {\rho } = {\left( {\frac{{{T_0}}} {T}} \right)^{\frac{1} {{\kappa -1}}}}$

$\left( 7 \right)\quad \frac{{{\rho _\infty}}} {{{\rho _2}}} = \frac{{{u_2}}} {{{u_\infty}}} = 1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)$

$\left( 8 \right)\quad \frac{{{p_2}}} {{{p_\infty}}} = 1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)$

a )

${\rho _\infty } = \frac{{{p_\infty }}} {{R{T_\infty }}} = 0,017\frac{{Ks}} {{{m^3}}}$

mit $R = 287\frac{J} {{kgK}}$

mit Gleichung 4 folgt:

$M{a_{\infty ,\max }} = \sqrt {\left( {\frac{{{T_{0,\max }}}} {{{T_\infty }}}-1} \right)\frac{2} {{\kappa -1}}} = 4$

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

${u_\infty } = M{a_\infty }{c_\infty } = M{a_\infty }\sqrt {\kappa R{T_\infty }} = 1134\frac{m} {s}$

b )

Definition der Machzahl: $M{a_2} = \frac{{{u_2}}} {{{c_2}}}$

also:

$\frac{{Ma_2^2}} {{Ma_\infty^2}} = \frac{{u_2^2}} {{c_2^2}}\frac{{c_\infty^2}} {{u_\infty^2}}$

mit

$\frac{{c_\infty^2}} {{c_2^2}} = \frac{{{T_\infty}}} {{{T_2}}} = \frac{{{p_\infty}{\rho _2}}} {{{p_2}{\rho _\infty}}}$

folgt

$\frac{{u_2^2}} {{u_\infty^2}} = \frac{{\rho _\infty^2}} {{\rho _2^2}}$

$\frac{{Ma_2^2}} {{Ma_\infty^2}} = \frac{{\rho _\infty^2{\rho _2}}} {{\rho _2^2{\rho _\infty}}}\frac{{{p_\infty}}} {{{p_2}}} = \frac{{{\rho _\infty}{p_\infty}}} {{{\rho _2}{p_2}}}$

$M{a_2} = M{a_\infty}\sqrt {\frac{{1-\frac{2} {{\kappa +1}}\left( {1-\frac{1} {{Ma_\infty^2}}} \right)}} {{1+\frac{{2\kappa }} {{\kappa +1}}\left( {Ma_\infty^2-1} \right)}}} = 0,435$