2.4 – Verhältnis von Widerstand zu Auftrieb, Gleitpfad

 
  1. Stellen Sie die Gleichung des stationären Gleitflugs in Flugbahnrichtung und senkrecht zur Flugbahnrichtung auf (Skizze der angreifenden Kräfte).
  2. Wie groß ist das Verhältnis von Widerstand zu Auftrieb, wenn der Gleitwinkel des Flugzeugs 3° beträgt?
  3. Wie groß ist der minimale Gleitwinkel im stationären Gleitflug für ein Segelflugzeug mit einer Gleitzahl von 1:50?
  4. Wie hängen Gleitwinkel und Fluggeschwindigkeit bei abnehmender Flughöhe von der Luftdichte ab? (Annahme: Gleitflug mit konstantem Auftriebsbeiwert)
  5. Skizzieren Sie den Gleitpfad in einem H,V-Diagramm.
  6. Begründen Sie, weshalb und ob der Pilot schneller oder langsamer gegenüber dem Fall des minimalen Gleitwinkels fliegen muss, um mit minimaler Sinkgeschwindigkeit zu gleiten.

Lösung 2.4

a)

kraftegleichgewicht-gleitflug-sinken

Kräftegleichgewicht:

{x_a}-Richtung: -W+mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = 0

{z_a}-Richtung: -A+mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right) = 0

Energiebilanz mit \sin \left( {-\gamma } \right) = \frac{{\Delta H}} {{\Delta s}}:

mg \cdot \Delta H = W \cdot \Delta s\qquad \overset{\wedge}{=}\qquad \Delta {E_{pot}} = \Delta {E_{Reibung}}

b)

Für den Gleitwinkel gilt: \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{W} {A}\quad \Rightarrow \quad \frac{W} {A} = \tan \left( {-3^\circ } \right) \approx -\frac{{52}} {{1000}}

c)

Gegeben: {\varepsilon _{min}} = \frac{1} {{50}}

Mit \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} = \varepsilon ergibt sich:

\tan \left( {-{\gamma _{min}}} \right) = {\varepsilon _{min}}\quad \Rightarrow \quad -{\gamma _{min}} = \arctan \left( {{\varepsilon _{min}}} \right) = \arctan \left( {\frac{1} {{50}}} \right) = {1,1458^ \circ }

d)

Der Gleitwinkel ist definiert durch:

\tan \left( {-\gamma } \right) = \varepsilon = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} = \frac{{{C_{W0}}+k \cdot C_A^2}} {{{C_A}}}

Der Gleitwinkel ist nur eine Funktion von {C_A} und nicht von H!

Für die Berechnung der Geschwindigkeit benötigt man den Auftrieb. Dieser ergibt sich zu

A = {C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S

Wird nun Auftrieb mit Gewichtskraft gleichgesetzt und nach der Geschwindigkeit aufgelöst, dann erhält man eine Formel für V in Abhängigkeit von der Dichte \rho, welche wiederum direkt von der Höhe abhängt:

{C_A}\frac{\rho } {2}{V^2}S = {\text{mg }}\quad \Rightarrow \quad V = \sqrt {\frac{{2mg}} {{{C_A}\rho S}}}

Die Dichte steigt mit kleiner werdenden Höhe, also ist die Geschwindigkeit proportional zur Flughöhe.

e)

gleitpfad-hohe-geschwindigkeit-diagramm

f)

Die Formel für die Geschwindigkeit ist: V = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S\sqrt {C_A^2+C_W^2} }}}

Da hier alle Werte bis auf {C_A} konstant sind, muss für die Veränderung von V nur {C_A} betrachtet werden.

In Aufgabe 2.3.d wurde gezeigt, dass {\left( {{C_A}} \right)_{{w_{min}}}} = C_A^* \cdot \sqrt 3 gilt. Dies bedeutet, dass bei minimaler Sinkgeschwindigkeit das {C_A} größer ist, als bei minimalem Gleitwinkel. Da {C_A} im Nenner auftritt wird die Geschwindigkeit also reduziert, der Pilot muss langsamer fliegen!