U03.4 – Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

 

(aus DP, Frühjahr 09)
Sei (X1, X2, X3) eine standardnormalverteilte einfache Stichprobe vom Umfang 3 und sei
(X1:3, X2:3, X3:3) die zugehörige Ordnungsstatistik.
Geben Sie die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen
X2:3 an.

Lösung

Hinweis:

Die Verteilung der i-ten Ordnungsgröße:

Sei Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right) eine einfache reellwertige Stichprobe vom Umfang n.
\left( {X_{1:n} , \ldots ,X_{n:n} } \right) sei die zugehörige Ordnungsstatistik.
F sei die Verteilungsfunktion von X_1 und
für i = 1, \ldots ,n sei G_i die Verteilungsfunktion von X_{i:n}.

Dann gilt für alle i = 1, \ldots ,n:

G_i \left( x \right) = \sum\limits_{j = i}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}    n  \\    j  \\   \end{array} } \right)F\left( x \right)^j \left( {1-F\left( x \right)} \right)^{n-j} }

Die Verteilungsfunktion von X1 ist, aufgrund der Standardnormalverteilung, \Phi \left( x \right).

Somit lautet die Verteilungsfunktion von X_{2:3}:

G_2 \left( x \right) = \sum\limits_{j = 2}^3 {\left( {\begin{array}{*{20}c}    3  \\    j  \\   \end{array} } \right)\Phi \left( x \right)^j \left( {1-\Phi \left( x \right)} \right)^{3-j} }

= 3\Phi \left( x \right)^2 \left( {1-\Phi \left( x \right)} \right)+\Phi \left( x \right)^3

= \underline{\underline {3\Phi \left( x \right)^2 -2\Phi \left( x \right)^3 }} \quad ,\quad x \in \mathbb{R}

Für die Dichte folgt daraus:

g_2 \left( x \right) = G_2 ^\prime  \left( x \right) = \left( {3\Phi \left( x \right)^2 -2\Phi \left( x \right)^3 } \right)^\prime

= 3\left( {\varphi \left( x \right) \cdot  \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right) \cdot  \varphi \left( x \right)} \right)-2\left( {\left[ {\varphi \left( x \right) \cdot  \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right) \cdot  \varphi \left( x \right)} \right] \cdot  \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right)^2  \cdot  \varphi \left( x \right)} \right)

= 6\:\Phi \left( x \right)\varphi \left( x \right)-6\:\Phi \left( x \right)^2 \varphi \left( x \right)

= \underline{\underline {6\:\Phi \left( x \right)\varphi \left( x \right)\left( {1-\Phi \left( x \right)} \right)}}

\mathcal{J}\mathcal{K}