U03.4 – Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

(aus DP, Frühjahr 09)
Sei (X₁, X₂, X₃) eine standardnormalverteilte einfache Stichprobe vom Umfang 3 und sei
(X_1:3, X_2:3, X_3:3) die zugehörige Ordnungsstatistik.
Geben Sie die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen
X_2:3 an.

Lösung

Hinweis:

Die Verteilung der i-ten Ordnungsgröße:

Sei $Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ eine einfache reellwertige Stichprobe vom Umfang n.
$\left( {X_{1:n} , \ldots ,X_{n:n} } \right)$ sei die zugehörige Ordnungsstatistik.
F sei die Verteilungsfunktion von $X_1$ und
für $i = 1, \ldots ,n$ sei $G_i$ die Verteilungsfunktion von $X_{i:n}$ .

Dann gilt für alle $i = 1, \ldots ,n$ :

$G_i \left( x \right) = \sum\limits_{j = i}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ j \\ \end{array} } \right)F\left( x \right)^j \left( {1-F\left( x \right)} \right)^{n-j} }$

Die Verteilungsfunktion von X₁ ist, aufgrund der Standardnormalverteilung, $\Phi \left( x \right)$ .

Somit lautet die Verteilungsfunktion von $X_{2:3}$ :

$G_2 \left( x \right) = \sum\limits_{j = 2}^3 {\left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ j \\ \end{array} } \right)\Phi \left( x \right)^j \left( {1-\Phi \left( x \right)} \right)^{3-j} }$

$= 3\Phi \left( x \right)^2 \left( {1-\Phi \left( x \right)} \right)+\Phi \left( x \right)^3$

$= \underline{\underline {3\Phi \left( x \right)^2 -2\Phi \left( x \right)^3 }} \quad ,\quad x \in \mathbb{R}$

Für die Dichte folgt daraus:

$g_2 \left( x \right) = G_2 ^\prime \left( x \right) = \left( {3\Phi \left( x \right)^2 -2\Phi \left( x \right)^3 } \right)^\prime$

$= 3\left( {\varphi \left( x \right) \cdot \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right)} \right)-2\left( {\left[ {\varphi \left( x \right) \cdot \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right) \cdot \varphi \left( x \right)} \right] \cdot \Phi \left( x \right)+\Phi \left( x \right)^2 \cdot \varphi \left( x \right)} \right)$